Τομή κωνικής, που ονομάζεται επίσης κωνική, στη γεωμετρία, κάθε καμπύλη που παράγεται από τη διασταύρωση ενός επιπέδου και ενός δεξιού κυκλικού κώνου. Ανάλογα με τη γωνία του επιπέδου σε σχέση με τον κώνο, η τομή είναι ένας κύκλος, μια έλλειψη, μια υπερβολή ή μια παραβολή. Ειδικές (εκφυλισμένες) περιπτώσεις τομής συμβαίνουν όταν το επίπεδο διέρχεται μόνο από την κορυφή (παράγοντας ένα μόνο σημείο) ή μέσω της κορυφής και ένα άλλο σημείο στον κώνο (παράγοντας μία ευθεία ή δύο διασταυρούμενες ευθείες γραμμές). Δείτε το σχήμα.
προβολική γεωμετρία: Προβολικά κωνικά τμήματα
Οι κωνικές τομές μπορούν να θεωρηθούν ως επίπεδες τομές ενός δεξιού κυκλικού κώνου (δείτε την εικόνα). Σχετικά με
Οι βασικές περιγραφές, αλλά όχι τα ονόματα, των κωνικών τμημάτων μπορούν να εντοπιστούν στον Menaechmus (άνθισε περίπου 350 π.Χ.), μαθητής του Πλάτωνα και του Ευδόξου του Κνίδου. Ο Απόλλωνας της Πέργας (περ. 262–190 π.Χ.), γνωστός ως «Μεγάλο γεωμετρία», έδωσε στα κωνικά τμήματα τα ονόματά τους και ήταν ο πρώτος που καθόρισε τους δύο κλάδους της υπερβολής (που προϋποθέτουν τον διπλό κώνο) Η οκτώ τόμος πραγματεία του Απολλώνιου στα κωνικά τμήματα, η Κωνική, είναι ένα από τα μεγαλύτερα επιστημονικά έργα του αρχαίου κόσμου.
Αναλυτικός ορισμός
Οι κωνικές μπορούν επίσης να περιγραφούν ως καμπύλες επιπέδου που είναι οι διαδρομές (τόποι) ενός σημείου που κινείται έτσι ώστε ο λόγος της απόστασής του από ένα σταθερό σημείο (η εστίαση) προς την απόσταση από μια σταθερή γραμμή (το directrix) να είναι μια σταθερά, που ονομάζεται την εκκεντρότητα της καμπύλης. Εάν η εκκεντρότητα είναι μηδέν, η καμπύλη είναι ένας κύκλος. αν είναι ίσο με ένα, μια παραβολή; εάν είναι λιγότερες από μία, μια έλλειψη. και εάν είναι μεγαλύτερη από μία, μια υπερβολή. Δείτε το σχήμα.
Κάθε κωνική ενότητα αντιστοιχεί στο γράφημα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης δεύτερου βαθμού της μορφής Ax 2 + By 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, όπου x και y είναι μεταβλητές και A, B, C, D, E και F είναι συντελεστές που εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη κωνική. Με μια κατάλληλη επιλογή αξόνων συντεταγμένων, η εξίσωση για οποιαδήποτε κωνική μπορεί να μειωθεί σε μία από τις τρεις απλές μορφές r: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, ή y 2 = 2px, που αντιστοιχεί σε έλλειψη, υπερβολή και παραβολή, αντίστοιχα. (Μια έλλειψη όπου a = b είναι στην πραγματικότητα ένας κύκλος.) Η εκτεταμένη χρήση συστημάτων συντεταγμένων για την αλγεβρική ανάλυση γεωμετρικών καμπυλών προήλθε από τον René Descartes (1596–1650). Δείτε Ιστορία γεωμετρίας: Καρτεσιανή γεωμετρία.
Ελληνική καταγωγή
Η πρώιμη ιστορία των κωνικών τμημάτων συνδέεται με το πρόβλημα του «διπλασιασμού του κύβου». Σύμφωνα με τον Ερατοσθένη της Κυρήνης (περίπου 276–190 π.Χ.), οι κάτοικοι της Δήλου συμβουλεύτηκαν το μαντείο του Απόλλωνα για βοήθεια για τον τερματισμό μιας πανούκλας (περίπου 430 π.Χ.) και τους δόθηκε εντολή να χτίσουν τον Απόλλωνα ένα νέο βωμό διπλάσιο από τον όγκο του παλαιού βωμού. και με το ίδιο κυβικό σχήμα. Ανησυχημένος, οι Δήλοι ζήτησαν τη γνώμη του Πλάτωνα, ο οποίος δήλωσε ότι «το μαντείο σήμαινε, όχι ότι ο θεός ήθελε ένα βωμό διπλάσιου μεγέθους, αλλά ότι επιθυμούσε, θέτοντάς τους το καθήκον, να ντρέψουν τους Έλληνες για την παραμέληση των μαθηματικών και την περιφρόνησή τους για γεωμετρία. " Ο Ιπποκράτης της Χίου (περ. 470–410 π.Χ.) ανακάλυψε για πρώτη φορά ότι το «πρόβλημα του Ντελιανού» μπορεί να μειωθεί σε εύρεση δύο μέσων αναλογιών μεταξύ του α και του 2α (οι όγκοι των αντίστοιχων βωμών) - δηλαδή, προσδιορίζοντας τα x και y έτσι ώστε ένα: x = x: y = y: 2α. Αυτό ισοδυναμεί με ταυτόχρονη επίλυση οποιωνδήποτε δύο εξισώσεων x 2 = ay, y 2 = 2ax και xy = 2a 2, που αντιστοιχούν σε δύο παραβολές και μια υπερβολή, αντίστοιχα. Αργότερα, ο Αρχιμήδης (περίπου 290-211 π.Χ.) έδειξε πώς να χρησιμοποιεί κωνικές τομές για να διαιρέσει μια σφαίρα σε δύο τμήματα με δεδομένη αναλογία.
Ο Διοκληλς (περίπου 200 π.Χ.) έδειξε γεωμετρικά ότι οι ακτίνες - για παράδειγμα, από τον Ήλιο - που είναι παράλληλες με τον άξονα ενός παραβολιδίου της επανάστασης (που παράγεται με περιστροφή ενός παραβολέα γύρω από τον άξονα συμμετρίας του) συναντιούνται στο επίκεντρο. Ο Αρχιμήδης λέγεται ότι χρησιμοποίησε αυτήν την ιδιοκτησία για να πυροβολήσει εχθρικά πλοία. Οι εστιακές ιδιότητες της έλλειψης αναφέρθηκαν από τον Anthemius of Tralles, έναν από τους αρχιτέκτονες του καθεδρικού ναού της Αγίας Σοφίας στην Κωνσταντινούπολη (ολοκληρώθηκε το 537 μ.Χ.), ως μέσο διασφάλισης ότι ένας βωμός θα μπορούσε να φωτίζεται από το φως του ήλιου όλη την ημέρα.
