Diophantus, με το επώνυμο Diophantus της Αλεξάνδρειας, (άνθισε γύρω στο 250), Έλληνας μαθηματικός, διάσημος για το έργο του στην άλγεβρα.
θεωρία αριθμών: Diophantus
Από τους μεταγενέστερους Έλληνες μαθηματικούς, ιδιαίτερα αξιοσημείωτο είναι ο Διοφάντος της Αλεξάνδρειας (άνθισε περίπου 250), συγγραφέας
Αυτό που λίγα είναι γνωστά για τη ζωή του Διοφάντου είναι περιστασιακό. Από την ονομασία «Αλεξάνδρεια» φαίνεται ότι εργάστηκε στο κύριο επιστημονικό κέντρο του αρχαίου ελληνικού κόσμου. και επειδή δεν αναφέρεται πριν από τον 4ο αιώνα, φαίνεται πιθανό ότι άνθισε κατά τον 3ο αιώνα. Ένα αριθμητικό επίγραμμα από την Anthologia Graeca της ύστερης αρχαιότητας, φέρεται να επαναπροσδιορίζει ορισμένα ορόσημα της ζωής του (γάμος στα 33, γέννηση του γιου του στα 38, θάνατος του γιου του τέσσερα χρόνια πριν από τον δικό του στα 84), μπορεί να φανταστεί. Δύο έργα μας έχουν έρθει με το όνομά του, και τα δύο ατελή. Το πρώτο είναι ένα μικρό θραύσμα σε πολυγωνικούς αριθμούς (ένας αριθμός είναι πολυγωνικός εάν ο ίδιος αριθμός κουκκίδων μπορεί να διευθετηθεί με τη μορφή κανονικού πολυγώνου). Η δεύτερη, μια μεγάλη και εξαιρετικά επιρροή πραγματεία πάνω στην οποία ανακτά όλη η αρχαία και σύγχρονη φήμη του Διοφάντου, είναι η αριθμητική του. Η ιστορική της σημασία είναι διπλή: είναι το πρώτο γνωστό έργο που χρησιμοποιεί την άλγεβρα σε μοντέρνο στιλ και ενέπνευσε την αναγέννηση της θεωρίας των αριθμών.
Το Arithmetica ξεκινά με μια εισαγωγή που απευθύνεται στον Διονύσιο - αναμφισβήτητα ο Άγιος Διονύσιος της Αλεξάνδρειας. Μετά από κάποιες γενικότητες σχετικά με τους αριθμούς, ο Διοφάντος εξηγεί τον συμβολισμό του - χρησιμοποιεί σύμβολα για το άγνωστο (που αντιστοιχεί στο x μας) και τις δυνάμεις του, θετικά ή αρνητικά, καθώς και για ορισμένες αριθμητικές πράξεις - τα περισσότερα από αυτά τα σύμβολα είναι σαφώς γραμματικές συντομογραφίες. Αυτή είναι η πρώτη και μοναδική εμφάνιση αλγεβρικού συμβολισμού πριν από τον 15ο αιώνα. Μετά τη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού των δυνάμεων του άγνωστου, ο Διόφαντος εξηγεί τον πολλαπλασιασμό θετικών και αρνητικών όρων και, στη συνέχεια, πώς να μειώσετε μια εξίσωση σε μία με μόνο θετικούς όρους (η τυπική μορφή που προτιμάται στην αρχαιότητα). Με αυτές τις προκαταρκτικές εξελίξεις, ο Διοφάντος προχωρά στα προβλήματα. Πράγματι, το Arithmetica είναι ουσιαστικά μια συλλογή προβλημάτων με λύσεις, περίπου 260 τμήματα που υπάρχουν ακόμη.
Η εισαγωγή αναφέρει επίσης ότι το έργο χωρίζεται σε 13 βιβλία. Έξι από αυτά τα βιβλία ήταν γνωστά στην Ευρώπη στα τέλη του 15ου αιώνα, μεταδόθηκαν στα ελληνικά από βυζαντινούς μελετητές και αριθμήθηκαν από το Ι έως το VI. τέσσερα άλλα βιβλία ανακαλύφθηκαν το 1968 σε μια αραβική μετάφραση του 9ου αιώνα από τον Qusṭā ibn Lūqā. Ωστόσο, το αραβικό κείμενο στερείται μαθηματικού συμβολισμού και φαίνεται να βασίζεται σε μεταγενέστερο ελληνικό σχολιασμό - ίσως αυτό της Υπατίας (περ. 370–415) - που αραίωσε την έκθεση του Διοφάντου. Γνωρίζουμε τώρα ότι η αρίθμηση των ελληνικών βιβλίων πρέπει να τροποποιηθεί: Η Arithmetica αποτελείται έτσι από τα Βιβλία Ι έως III στα Ελληνικά, τα Βιβλία IV έως VII στα Αραβικά και, πιθανώς, τα Βιβλία VIII έως X στα Ελληνικά (τα πρώην Ελληνικά Βιβλία IV έως VI). Η περαιτέρω αρίθμηση είναι απίθανη. είναι αρκετά σίγουρο ότι οι Βυζαντινοί γνώριζαν μόνο τα έξι βιβλία που έστειλαν και τους Άραβες όχι μόνο από τα Βιβλία Ι έως VII στην σχολιασμένη έκδοση.
Τα προβλήματα του Βιβλίου Ι δεν είναι χαρακτηριστικά, είναι ως επί το πλείστον απλά προβλήματα που χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση του αλγεβρικού υπολογισμού. Τα διακριτικά χαρακτηριστικά των προβλημάτων του Diophantus εμφανίζονται στα επόμενα βιβλία: είναι απροσδιόριστα (έχουν περισσότερες από μία λύσεις), είναι του δεύτερου βαθμού ή μπορούν να μειωθούν στο δεύτερο βαθμό (η υψηλότερη ισχύς με μεταβλητούς όρους είναι 2, δηλαδή x 2) και τελειώστε με τον προσδιορισμό μιας θετικής λογικής τιμής για το άγνωστο που θα κάνει μια δεδομένη αλγεβρική έκφραση ένα αριθμητικό τετράγωνο ή μερικές φορές έναν κύβο. (Σε όλο το βιβλίο του, ο Διοφάντος χρησιμοποιεί τον «αριθμό» για να αναφερθεί σε αυτό που τώρα λέγονται θετικοί, ορθολογικοί αριθμοί · έτσι, ένας τετραγωνικός αριθμός είναι το τετράγωνο κάποιου θετικού, ορθολογικού αριθμού.) Τα βιβλία II και III διδάσκουν επίσης γενικές μεθόδους. Σε τρία προβλήματα του Βιβλίου II εξηγείται πώς να αντιπροσωπεύουμε: (1) κάθε δεδομένο τετραγωνικό αριθμό ως άθροισμα των τετραγώνων δύο λογικών αριθμών. (2) οποιονδήποτε δεδομένο μη τετράγωνο αριθμό, που είναι το άθροισμα δύο γνωστών τετραγώνων, ως άθροισμα δύο άλλων τετραγώνων · και (3) οποιονδήποτε δεδομένο λογικό αριθμό ως η διαφορά δύο τετραγώνων. Ενώ το πρώτο και το τρίτο πρόβλημα αναφέρονται γενικά, η υποτιθέμενη γνώση μιας λύσης στο δεύτερο πρόβλημα υποδηλώνει ότι δεν είναι κάθε λογικός αριθμός το άθροισμα των δύο τετραγώνων. Ο Diophantus αργότερα δίνει την συνθήκη για έναν ακέραιο: ο δεδομένος αριθμός δεν πρέπει να περιέχει κανένα πρωταρχικό παράγοντα της φόρμας 4n + 3 που έχει αυξηθεί σε μια περίεργη ισχύ, όπου το n είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Τέτοια παραδείγματα παρακίνησαν την αναγέννηση της θεωρίας αριθμών. Αν και ο Diophantus είναι συνήθως ικανοποιημένος για να βρει μία λύση σε ένα πρόβλημα, αναφέρει περιστασιακά σε προβλήματα ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός λύσεων.
Στα βιβλία IV έως VII, ο Diophantus επεκτείνει βασικές μεθόδους όπως αυτές που περιγράφονται παραπάνω σε προβλήματα υψηλότερων βαθμών που μπορούν να μειωθούν σε διωνυμική εξίσωση του πρώτου ή του δευτέρου βαθμού. Οι πρόλογοι αυτών των βιβλίων δηλώνουν ότι σκοπός τους είναι να παρέχουν στον αναγνώστη «εμπειρία και δεξιότητα». Ενώ αυτή η πρόσφατη ανακάλυψη δεν αυξάνει τη γνώση των μαθηματικών του Διοφάντου, αλλάζει την εκτίμηση της παιδαγωγικής του ικανότητας. Τα Βιβλία VIII και IX (πιθανώς Ελληνικά Βιβλία IV και V) επιλύουν πιο δύσκολα προβλήματα, ακόμη και αν οι βασικές μέθοδοι παραμένουν οι ίδιες. Για παράδειγμα, ένα πρόβλημα περιλαμβάνει την αποσύνθεση ενός δεδομένου ακέραιου στο άθροισμα δύο τετραγώνων που είναι αυθαίρετα το ένα κοντά στο άλλο. Ένα παρόμοιο πρόβλημα περιλαμβάνει την αποσύνθεση ενός δεδομένου ακέραιου στο άθροισμα τριών τετραγώνων. Σε αυτό, το Diophantus αποκλείει την αδύνατη περίπτωση ακέραιων αριθμών 8n + 7 (και πάλι, το n είναι μη αρνητικός ακέραιος). Το βιβλίο X (πιθανώς ελληνικό βιβλίο VI) ασχολείται με ορθογώνια τρίγωνα με ορθολογικές πλευρές και υπόκειται σε διάφορες περαιτέρω προϋποθέσεις.
Τα περιεχόμενα των τριών λείπουν βιβλίων της Αριθματικής μπορούν να εκτιμηθούν από την εισαγωγή, όπου, αφού λέγοντας ότι η μείωση ενός προβλήματος θα πρέπει «εάν είναι δυνατόν» να τελειώσει με μια διωνυμική εξίσωση, ο Διοφάντας προσθέτει ότι «θα μεταχειρίζεται αργότερα» την υπόθεση μιας τριαμινικής εξίσωσης - μια υπόσχεση που δεν εκπληρώνεται στο υπάρχον μέρος.
Αν και είχε στη διάθεσή του περιορισμένα αλγεβρικά εργαλεία, ο Διοφάντος κατάφερε να λύσει μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων και η Arithmetica ενέπνευσε τους Αραβικούς μαθηματικούς όπως ο al-Karajī (περ. 980-1030) να εφαρμόσουν τις μεθόδους του. Η πιο διάσημη επέκταση του έργου του Διοφάντου ήταν από τον Pierre de Fermat (1601–65), τον ιδρυτή της σύγχρονης θεωρίας αριθμών. Στο περιθώριο του αντιγράφου του Arithmetica, ο Fermat έγραψε διάφορες παρατηρήσεις, προτείνοντας νέες λύσεις, διορθώσεις και γενικεύσεις των μεθόδων του Διοφάντου, καθώς και κάποιες εικασίες όπως το τελευταίο θεώρημα του Fermat, το οποίο απασχολούσε μαθηματικούς για τις επόμενες γενιές. Οι απροσδιόριστες εξισώσεις που περιορίζονται σε ολοκληρωμένες λύσεις έχουν γίνει γνωστές, αν και ακατάλληλα, ως εξισώσεις Διοφαντίνης.
