Μαθηματικά συνάρτησης Bessel

Η συνάρτηση Bessel, που ονομάζεται επίσης Cylinder Function, είναι μια σειρά μαθηματικών συναρτήσεων που προέρχονται συστηματικά από το 1817 από τον Γερμανό αστρονόμο Friedrich Wilhelm Bessel κατά τη διάρκεια μιας έρευνας για λύσεις μίας από τις εξισώσεις της πλανητικής κίνησης του Kepler. Ιδιαίτερες συναρτήσεις του σετ είχαν διατυπωθεί νωρίτερα από τους Ελβετούς μαθηματικούς Daniel Bernoulli, ο οποίος μελέτησε τις ταλαντώσεις μιας αλυσίδας που είχε ανασταλεί από το ένα άκρο και τον Leonhard Euler, ο οποίος ανέλυσε τις δονήσεις μιας τεντωμένης μεμβράνης.

Αφού ο Bessel δημοσίευσε τα ευρήματά του, άλλοι επιστήμονες διαπίστωσαν ότι οι συναρτήσεις εμφανίστηκαν σε μαθηματικές περιγραφές πολλών φυσικών φαινομένων, συμπεριλαμβανομένης της ροής θερμότητας ή ηλεκτρικής ενέργειας σε έναν συμπαγή κύλινδρο, η διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων κατά μήκος καλωδίων, η διάθλαση του φωτός, οι κινήσεις των υγρών, και τις παραμορφώσεις των ελαστικών σωμάτων. Ένας από αυτούς τους ερευνητές, ο Λόρδος Rayleigh, τοποθέτησε επίσης τις συναρτήσεις Bessel σε ένα ευρύτερο πλαίσιο δείχνοντας ότι προκύπτουν στη λύση της εξίσωσης Laplace (qv) όταν η τελευταία διαμορφώνεται σε κυλινδρικές (αντί καρτεσιανές ή σφαιρικές) συντεταγμένες.

Συγκεκριμένα, η συνάρτηση Bessel είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης

που ονομάζεται εξίσωση του Bessel. Για ακέραιες τιμές του n, οι συναρτήσεις Bessel είναι

Η γραφική παράσταση του J ₀ (x) μοιάζει με αυτή της καμπύλης υγρού συνημίτονου και αυτή του J ₁ (x) μοιάζει με αυτή της καμπύλης ημιτονοειδούς σήματος (βλέπε γράφημα).

Ορισμένα φυσικά προβλήματα οδηγούν σε διαφορικές εξισώσεις ανάλογες με την εξίσωση του Bessel. Οι λύσεις τους έχουν τη μορφή συνδυασμών συναρτήσεων Bessel και ονομάζονται συναρτήσεις Bessel του δεύτερου ή τρίτου είδους.