Συνεχής υπόθεση, δήλωση της θεωρίας συνόλων ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών (το συνεχές) είναι με μια έννοια όσο μικρότερη μπορεί να είναι. Το 1873 ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor απέδειξε ότι το συνεχές είναι μετρήσιμο - δηλαδή, οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα μεγαλύτερο άπειρο από τους αριθμούς καταμέτρησης - ένα βασικό αποτέλεσμα στην εκκίνηση της θεωρίας του συνόλου ως μαθηματικό θέμα. Επιπλέον, ο Cantor ανέπτυξε έναν τρόπο ταξινόμησης του μεγέθους των άπειρων συνόλων ανάλογα με τον αριθμό των στοιχείων του ή την καρδινία του. (Βλέπε θεωρία συνόλου: αριθμοί καρδινιλότητας και τρανσφίτη). Σε αυτούς τους όρους, η συνεχής υπόθεση μπορεί να δηλωθεί ως εξής: Η καρδινιλότητα του συνεχούς είναι ο μικρότερος μη μετρήσιμος καρδινάλιος αριθμός.
θεωρία συνόλου: Καρδινιλότητα και αριθμοί μετατιθέμενου
μια εικασία γνωστή ως συνεχής υπόθεση.
Στη σημειογραφία του Cantor, η συνεχής υπόθεση μπορεί να δηλωθεί με την απλή εξίσωση 2 ℵ 0 = ℵ 1, όπου ℵ 0 είναι ο βασικός αριθμός ενός άπειρου μετρήσιμου συνόλου (όπως το σύνολο των φυσικών αριθμών) και οι βασικοί αριθμοί μεγαλύτεροι σετ με καλή σειρά »είναι ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, ευρετηριάζεται με τους αριθμούς κανονικής. Η καρδινιλότητα του συνεχούς μπορεί να αποδειχθεί ίση με 2 ℵ 0. Έτσι, η συνεχής υπόθεση αποκλείει την ύπαρξη ενός συνόλου ενδιάμεσου μεγέθους μεταξύ των φυσικών αριθμών και του συνεχούς.
Μια ισχυρότερη δήλωση είναι η γενικευμένη συνεχής υπόθεση (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 για κάθε κανονικό αριθμό α. Ο Πολωνός μαθηματικός Wacław Sierpiński απέδειξε ότι με το GCH μπορεί κανείς να αντλήσει το αξίωμα της επιλογής.
Όπως και με το αξίωμα της επιλογής, ο Αυστριακός γεννημένος Αμερικανός μαθηματικός Kurt Gödel απέδειξε το 1939 ότι, εάν τα άλλα πρότυπα αξιώματα Zermelo-Fraenkel (ZF, δείτε το
πίνακας) είναι συνεπείς, τότε δεν διαψεύδουν τη συνεχή υπόθεση ή ακόμη και το GCH. Δηλαδή, το αποτέλεσμα της προσθήκης GCH στα άλλα αξιώματα παραμένει συνεπές. Στη συνέχεια, το 1963 ο Αμερικανός μαθηματικός Paul Cohen ολοκλήρωσε την εικόνα δείχνοντας, πάλι υπό την προϋπόθεση ότι το ZF είναι συνεπές, ότι το ZF δεν αποδεικνύει τη συνεχή υπόθεση.
Δεδομένου ότι το ZF ούτε αποδεικνύει ούτε διαψεύδει τη συνεχή υπόθεση, παραμένει το ερώτημα εάν θα γίνει αποδεκτή η συνεχής υπόθεση που βασίζεται σε μια άτυπη αντίληψη για το τι είναι τα σύνολα. Η γενική απάντηση στη μαθηματική κοινότητα ήταν αρνητική: η συνεχής υπόθεση είναι μια περιοριστική δήλωση σε ένα πλαίσιο όπου δεν υπάρχει γνωστός λόγος επιβολής ορίου. Στη θεωρία του συνόλου, η λειτουργία του σετ ισχύος εκχωρεί σε κάθε σύνολο καρδινιότητας ℵ α το σύνολο όλων των υποομάδων, το οποίο έχει καρδινιτότητα 2 ℵ α. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος να επιβληθεί όριο στην ποικιλία των υποομάδων που μπορεί να έχει ένα άπειρο σύνολο.
