Διαφορική εξίσωση, μαθηματική δήλωση που περιέχει ένα ή περισσότερα παράγωγα - δηλαδή, όρους που αντιπροσωπεύουν τους ρυθμούς μεταβολής των συνεχώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι πολύ συχνές στην επιστήμη και τη μηχανική, καθώς και σε πολλούς άλλους τομείς ποσοτικής μελέτης, επειδή αυτό που μπορεί να παρατηρηθεί και να μετρηθεί άμεσα για τα συστήματα που υφίστανται αλλαγές είναι οι ρυθμοί αλλαγής τους. Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι, γενικά, μια εξίσωση που εκφράζει τη λειτουργική εξάρτηση μιας μεταβλητής από μία ή περισσότερες άλλες. Συνήθως περιέχει σταθερούς όρους που δεν υπάρχουν στην αρχική διαφορική εξίσωση. Ένας άλλος τρόπος να το πούμε αυτό είναι ότι η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης παράγει μια συνάρτηση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη της συμπεριφοράς του αρχικού συστήματος, τουλάχιστον εντός ορισμένων περιορισμών.
ανάλυση: Newton και διαφορικές εξισώσεις
η εφαρμογή της ανάλυσης είναι διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες συσχετίζουν τους ρυθμούς μεταβολής διαφόρων ποσοτήτων με τις τρέχουσες τιμές τους,
Οι διαφορικές εξισώσεις ταξινομούνται σε πολλές ευρείες κατηγορίες και αυτές με τη σειρά τους διαιρούνται περαιτέρω σε πολλές υποκατηγορίες. Οι πιο σημαντικές κατηγορίες είναι οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις. Όταν η συνάρτηση που εμπλέκεται στην εξίσωση εξαρτάται από μία μόνο μεταβλητή, τα παράγωγά της είναι συνηθισμένα παράγωγα και η διαφορική εξίσωση ταξινομείται ως μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση. Από την άλλη πλευρά, εάν η συνάρτηση εξαρτάται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, έτσι ώστε τα παράγωγά της να είναι μερικά παράγωγα, η διαφορική εξίσωση ταξινομείται ως μερική διαφορική εξίσωση. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων:
Σε αυτά, το y σημαίνει τη συνάρτηση και είτε t ή x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Τα σύμβολα k και m χρησιμοποιούνται εδώ για την αντιστοίχιση συγκεκριμένων σταθερών.
Όποιο κι αν είναι ο τύπος, μια διαφορική εξίσωση λέγεται ότι είναι της nth τάξης εάν περιλαμβάνει ένα παράγωγο της nth τάξης αλλά κανένα παράγωγο μιας τάξης υψηλότερο από αυτό. Η εξίσωση είναι ένα παράδειγμα μερικής διαφορικής εξίσωσης της δεύτερης τάξης. Οι θεωρίες των συνηθισμένων και μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι πολύ διαφορετικές και για το λόγο αυτό οι δύο κατηγορίες αντιμετωπίζονται ξεχωριστά.
Αντί μιας μεμονωμένης διαφορικής εξίσωσης, το αντικείμενο της μελέτης μπορεί να είναι ένα ταυτόχρονο σύστημα τέτοιων εξισώσεων. Η διατύπωση των νόμων της δυναμικής οδηγεί συχνά σε τέτοια συστήματα. Σε πολλές περιπτώσεις, μια μεμονωμένη διαφορική εξίσωση της nth τάξης αντικαθίσταται πλεονεκτικά από ένα σύστημα n ταυτόχρονων εξισώσεων, καθεμία από τις οποίες είναι της πρώτης τάξης, έτσι ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν τεχνικές από γραμμική άλγεβρα.
Μια συνήθης διαφορική εξίσωση στην οποία, για παράδειγμα, η συνάρτηση και η ανεξάρτητη μεταβλητή υποδηλώνονται με y και x είναι ουσιαστικά μια σιωπηρή περίληψη των βασικών χαρακτηριστικών του y ως συνάρτηση του x. Αυτά τα χαρακτηριστικά θα ήταν πιθανώς πιο προσιτά στην ανάλυση εάν θα μπορούσε να παραχθεί ένας ρητός τύπος για το y. Ένας τέτοιος τύπος, ή τουλάχιστον μια εξίσωση σε x και y (που δεν περιλαμβάνει παράγωγα) που αφαιρείται από τη διαφορική εξίσωση, ονομάζεται λύση της διαφορικής εξίσωσης. Η διαδικασία εξαγωγής μιας λύσης από την εξίσωση με τις εφαρμογές της άλγεβρας και του λογισμού ονομάζεται επίλυση ή ολοκλήρωση της εξίσωσης. Πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι οι διαφορικές εξισώσεις που μπορούν να επιλυθούν ρητά αποτελούν μια μικρή μειονότητα. Έτσι, οι περισσότερες συναρτήσεις πρέπει να μελετηθούν με έμμεσες μεθόδους. Ακόμη και η ύπαρξή του πρέπει να αποδειχθεί όταν δεν υπάρχει δυνατότητα παραγωγής του για επιθεώρηση. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται μέθοδοι από αριθμητική ανάλυση, που περιλαμβάνουν υπολογιστές, για τη λήψη χρήσιμων κατά προσέγγιση λύσεων.
