Θεωρία κατηγορίας
Αφαίρεση στα μαθηματικά
Μια πρόσφατη τάση στην ανάπτυξη των μαθηματικών ήταν η σταδιακή διαδικασία της αφαίρεσης. Ο Νορβηγός μαθηματικός Niels Henrik Abel (1802-29) απέδειξε ότι οι εξισώσεις του πέμπτου βαθμού δεν μπορούν, γενικά, να λυθούν από ριζοσπάστες. Ο Γάλλος μαθηματικός Évariste Galois (1811–32), με κίνητρο εν μέρει από το έργο του Άμπελ, εισήγαγε ορισμένες ομάδες παραλλαγών για να καθορίσει τις απαραίτητες προϋποθέσεις για να επιλυθεί μια πολυωνυμική εξίσωση. Αυτές οι συγκεκριμένες ομάδες δημιούργησαν σύντομα αφηρημένες ομάδες, οι οποίες περιγράφηκαν αξιωματικά. Τότε συνειδητοποιήθηκε ότι για να μελετήσουμε ομάδες ήταν απαραίτητο να εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ διαφορετικών ομάδων - συγκεκριμένα, στους ομομορφισμούς που χαρτογραφούν μια ομάδα σε μια άλλη, διατηρώντας παράλληλα τις λειτουργίες της ομάδας. Έτσι οι άνθρωποι άρχισαν να μελετούν αυτό που ονομάζεται τώρα συγκεκριμένη κατηγορία ομάδων, των οποίων τα αντικείμενα είναι ομάδες και των οποίων τα βέλη είναι ομομορφισμοί. Δεν χρειάστηκε πολύς χρόνος για να αντικατασταθούν συγκεκριμένες κατηγορίες από αφηρημένες κατηγορίες, που περιγράφονται ξανά αξιωματικά.
Η σημαντική έννοια μιας κατηγορίας εισήχθη από τους Samuel Eilenberg και Saunders Mac Lane στο τέλος του Β 'Παγκοσμίου Πολέμου. Αυτές οι σύγχρονες κατηγορίες πρέπει να διακρίνονται από τις κατηγορίες του Αριστοτέλη, οι οποίες ονομάζονται καλύτερα τύποι στο παρόν πλαίσιο. Μια κατηγορία δεν έχει μόνο αντικείμενα, αλλά και βέλη (αναφέρονται επίσης ως μορφισμοί, μετασχηματισμοί ή αντιστοιχίσεις) μεταξύ τους.
Πολλές κατηγορίες έχουν ως σύνολα αντικειμένων προικισμένα με κάποια δομή και βέλη, τα οποία διατηρούν αυτήν τη δομή. Έτσι, υπάρχουν οι κατηγορίες των συνόλων (με κενή δομή) και αντιστοιχιών, ομάδων και ομάδων-ομομορφισμών, δακτυλίων και δακτυλίων-ομομορφισμών, διανυσμάτων και γραμμικών μετασχηματισμών, τοπολογικών χώρων και συνεχών χαρτογράφησης, και ούτω καθεξής. Υπάρχει ακόμη, σε ακόμη πιο αφηρημένο επίπεδο, η κατηγορία (μικρών) κατηγοριών και τελετών, όπως ονομάζονται οι μορφές μεταξύ των κατηγοριών, οι οποίες διατηρούν σχέσεις μεταξύ των αντικειμένων και των βελών.
Δεν μπορούν να προβληθούν όλες οι κατηγορίες με αυτόν τον συγκεκριμένο τρόπο. Για παράδειγμα, οι τύποι ενός αφαιρετικού συστήματος μπορούν να θεωρηθούν ως αντικείμενα μιας κατηγορίας των οποίων τα βέλη f: A → B είναι αφαιρέσεις του Β από το A. Στην πραγματικότητα, αυτή η άποψη είναι σημαντική στη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών, όπου οι τύποι εξετάζονται ως τύποι και μειώσεις ως πράξεις.
Πιο τυπικά, μια κατηγορία αποτελείται από (1) μια συλλογή αντικειμένων A, B, C,…, (2) για κάθε ταξινομημένο ζεύγος αντικειμένων στη συλλογή μια συσχετισμένη συλλογή μετασχηματισμών, συμπεριλαμβανομένης της ταυτότητας I A ∶ A → A και (3) ενός σχετικού νόμου σύνθεσης για κάθε ταξινομημένο τριπλό αντικείμενο σε κατηγορία τέτοια ώστε για f ∶ A → B και g ∶ B → C η σύνθεση gf (ή g ○ f) είναι ένας μετασχηματισμός από το Α στο C — δηλ., gf ∶ A → C. Επιπλέον, απαιτείται να διατηρηθεί ο σχετικός νόμος και οι ταυτότητες (όπου οι συνθέσεις που ορίζονται) -δηλ, h (gf) = (Hg) f και 1 Β f = f = f1 Α.
Κατά μία έννοια, τα αντικείμενα μιας αφηρημένης κατηγορίας δεν έχουν παράθυρα, όπως τα μονάδες του Leibniz. Για να συμπεράνουμε το εσωτερικό ενός αντικειμένου Α, πρέπει κανείς να δει μόνο όλα τα βέλη από άλλα αντικείμενα έως το A. Για παράδειγμα, στην κατηγορία των συνόλων, τα στοιχεία ενός συνόλου Α μπορούν να αντιπροσωπεύονται από βέλη από ένα τυπικό σύνολο ενός στοιχείου στο Α. Ομοίως, στην κατηγορία των μικρών κατηγοριών, αν 1 είναι η κατηγορία με ένα αντικείμενο και καμία βέλη nonidentity, τα αντικείμενα της κατηγορίας Α μπορούν να ταυτοποιηθούν με τις functors 1 → Α. Επιπλέον, εάν το 2 είναι η κατηγορία με δύο αντικείμενα και ένα βέλος μη ταυτότητας, τα βέλη του Α μπορούν να ταυτιστούν με τους συντελεστές 2 → Α.
Ισομορφικές δομές
Ένα βέλος f: Α → Β λέγεται ισομορφισμός αν υπάρχει ένα βέλος g: B → A αντίστροφο προς f-που είναι, τέτοια ώστε g ○ f = 1 Α και f ○ g = 1 Β. Αυτό είναι γραμμένο A ≅ B, και τα A και B ονομάζονται ισομορφικά, πράγμα που σημαίνει ότι έχουν ουσιαστικά την ίδια δομή και ότι δεν υπάρχει ανάγκη διάκρισης μεταξύ τους. Στο βαθμό που οι μαθηματικές οντότητες είναι αντικείμενα κατηγοριών, δίδονται μόνο στον ισομορφισμό. Οι παραδοσιακές σκηνοθετικές τους κατασκευές, εκτός από το ότι εξυπηρετούν έναν χρήσιμο σκοπό για να δείξουν τη συνέπεια, είναι πραγματικά άσχετες.
Για παράδειγμα, στη συνήθη κατασκευή του δακτυλίου των ακεραίων, ένας ακέραιος ορίζεται ως μια κλάση ισοδυναμίας ζευγών (m, n) φυσικών αριθμών, όπου (m, n) είναι ισοδύναμη με (m ′, n ′) εάν και μόνο αν m + n ′ = m ′ + n. Η ιδέα είναι ότι η κλάση ισοδυναμίας (m, n) πρέπει να θεωρηθεί ως m - n. Αυτό που είναι σημαντικό για έναν κατηγοριογράφο, ωστόσο, είναι ότι ο δακτύλιος ℤ των ακεραίων είναι ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των δακτυλίων και των ομομορφισμών - δηλαδή, για κάθε δακτύλιο ℝ υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός ℤ → ℝ. Με αυτόν τον τρόπο, ℤ δίδεται μόνο στον ισομορφισμό. Με το ίδιο πνεύμα, δεν πρέπει να πούμε ότι ℤ περιέχεται στο πεδίο ℚ των λογικών αριθμών, αλλά μόνο ότι ο ομομορφισμός ℤ → ℚ είναι ένας προς έναν. Ομοίως, δεν έχει νόημα να μιλάμε για τη θεωρητική τομή του π και της τετραγωνικής ρίζας του √-1, εάν και οι δύο εκφράζονται ως σύνολα συνόλων συνόλων (ad infinitum).
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα ιδρύματα και αλλού είναι οι παρακείμενοι τελεστές (F, G). Πρόκειται για ζεύγη συντελεστών μεταξύ δύο κατηγοριών ? και which, οι οποίες κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις έτσι ώστε να υπάρχει αλληλογραφία ένας προς έναν μεταξύ του συνόλου των βελών F (A) → B in ℬ και του συνόλου των βελών A → G (B) στο ? - δηλαδή, έτσι ώστε τα σύνολα να είναι ισομορφικά.
