Λογική και μεταλλολογία
Κατά μία έννοια, η λογική πρέπει να ταυτιστεί με το αρχικό λογισμό της πρώτης τάξης, τον λογισμό στον οποίο οι μεταβλητές περιορίζονται σε άτομα ενός σταθερού τομέα - αν και μπορεί να περιλαμβάνει και τη λογική της ταυτότητας, που συμβολίζεται με το σύμβολο "=", το οποίο λαμβάνει τις συνήθεις ιδιότητες της ταυτότητας ως μέρος της λογικής. Υπό αυτήν την έννοια, ο Gottlob Frege πέτυχε έναν επίσημο λογισμό λογικής ήδη από το 1879. Μερικές φορές, η λογική ερμηνεύεται, ωστόσο, ότι περιλαμβάνει και υψηλότερης τάξης κατηγορίες, οι οποίες αναγνωρίζουν μεταβλητές υψηλότερων τύπων, όπως αυτές που κυμαίνονται σε κατηγορίες (ή τάξεις και σχέσεις) και ούτω καθεξής. Αλλά τότε είναι ένα μικρό βήμα για την ένταξη της θεωρίας συνόλων, και, στην πραγματικότητα, η θεωρία του αξιωματικού συνόλου θεωρείται συχνά ως μέρος της λογικής. Ωστόσο, για τους σκοπούς αυτού του άρθρου, είναι πιο σκόπιμο να περιοριστεί η συζήτηση στη λογική με την πρώτη έννοια.
Είναι δύσκολο να διαχωρίσουμε σημαντικά ευρήματα στη λογική από εκείνα της μεταλλογικής, επειδή όλα τα θεωρήματα που ενδιαφέρουν τους λογικούς είναι σχετικά με τη λογική και ως εκ τούτου ανήκουν στη μεταλλουργική. Εάν το p είναι ένα μαθηματικό θεώρημα - συγκεκριμένα, ένα σχετικά με τη λογική - και το P είναι ο συνδυασμός των μαθηματικών αξιωμάτων που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη του p, τότε κάθε p μπορεί να μετατραπεί σε ένα θεώρημα, "είτε όχι-P είτε p", στη λογική. Τα μαθηματικά δεν γίνονται, ωστόσο, πραγματοποιώντας ρητά όλα τα βήματα όπως επισημοποιούνται στη λογική. Η επιλογή και η διαισθητική κατανόηση των αξιωμάτων είναι σημαντική τόσο για τα μαθηματικά όσο και για τα μεταμαθηματικά. Οι πραγματικές παραλλαγές στη λογική, όπως αυτές που πραγματοποιήθηκαν λίγο πριν από τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο από τους Alfred North Whitehead και Bertrand Russell, έχουν ελάχιστο εγγενές ενδιαφέρον για τους λογικούς. Επομένως, φαίνεται περιττό να εισαχθεί ο όρος metalogic. Στην παρούσα ταξινόμηση, ωστόσο, η metalogic θεωρείται ότι ασχολείται όχι μόνο με ευρήματα σχετικά με λογικούς υπολογισμούς αλλά και με μελέτες τυπικών συστημάτων και γενικών επίσημων γλωσσών.
Ένα συνηθισμένο τυπικό σύστημα διαφέρει από ένα λογικό λογισμό στο ότι το σύστημα έχει συνήθως μια σκοπούμενη ερμηνεία, ενώ ο λογικός λογισμός αφήνει σκόπιμα τις πιθανές ερμηνείες ανοιχτές. Έτσι, κάποιος μιλά, για παράδειγμα, για την αλήθεια ή το ψέμα των προτάσεων σε ένα τυπικό σύστημα, αλλά σε σχέση με έναν λογικό λογισμό μιλάει για εγκυρότητα (δηλ. Να είναι αληθινός σε όλες τις ερμηνείες ή σε όλους τους πιθανούς κόσμους) και για την ικανοποίηση (ή έχοντας ένα μοντέλο - δηλαδή, αληθινό σε κάποια συγκεκριμένη ερμηνεία). Ως εκ τούτου, η πληρότητα ενός λογικού λογισμού έχει μια εντελώς διαφορετική έννοια από εκείνη ενός τυπικού συστήματος: ένας λογικός λογισμός επιτρέπει πολλές προτάσεις έτσι ώστε ούτε η πρόταση ούτε η άρνησή της να είναι θεώρημα, διότι είναι αλήθεια σε ορισμένες ερμηνείες και ψευδείς σε άλλες και απαιτεί μόνο κάθε έγκυρη πρόταση να είναι θεώρημα.
