Riemann zeta συνάρτηση, λειτουργία χρήσιμη στη θεωρία αριθμών για τη διερεύνηση ιδιοτήτων των πρώτων αριθμών Γράφτηκε ως ζ (x), αρχικά ορίστηκε ως η άπειρη σειράζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Όταν x = 1, αυτή η σειρά ονομάζεται αρμονική σειρά, η οποία αυξάνεται χωρίς δέσμευση - δηλαδή, το άθροισμά της είναι άπειρο. Για τιμές x μεγαλύτερες από 1, η σειρά συγκλίνει σε πεπερασμένο αριθμό καθώς προστίθενται διαδοχικοί όροι. Εάν το x είναι μικρότερο από 1, το άθροισμα είναι πάλι άπειρο. Η συνάρτηση zeta ήταν γνωστή στον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler το 1737, αλλά για πρώτη φορά μελετήθηκε εκτενώς από τον Γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann.
Το 1859 ο Riemann δημοσίευσε μια εφημερίδα που δίνει μια ρητή φόρμουλα για τον αριθμό των πρώτων μέχρι οποιοδήποτε προκαθορισμένο όριο - μια αποφασιστική βελτίωση σε σχέση με την κατά προσέγγιση τιμή που δίνεται από το θεώρημα του πρωταρχικού αριθμού. Ωστόσο, ο τύπος του Riemann εξαρτιόταν από το να γνωρίζουμε τις τιμές στις οποίες μια γενικευμένη έκδοση της συνάρτησης zeta ισούται με μηδέν. (Η συνάρτηση Riemann zeta ορίζεται για όλους τους σύνθετους αριθμούς - αριθμούς της φόρμας x + iy, όπου i = Τετραγωνική ρίζα του − 1 - εκτός από τη γραμμή x = 1.) Ο Riemann γνώριζε ότι η συνάρτηση ισούται με μηδέν για όλα τα αρνητικά ακόμη και ακέραιοι −2, −4, −6,
(τα λεγόμενα ασήμαντα μηδενικά), και ότι έχει έναν άπειρο αριθμό μηδενικών στην κρίσιμη λωρίδα σύνθετων αριθμών μεταξύ των γραμμών x = 0 και x = 1, και επίσης ήξερε ότι όλα τα μη ασήμαντα μηδενικά είναι συμμετρικά σε σχέση με το κρίσιμο γραμμή x = 1 / 2. Ο Riemann υπέθεσε ότι όλα τα μη-μηδενικά μηδενικά βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή, μια εικασία που στη συνέχεια έγινε γνωστή ως υπόθεση Ρίμαν.
Το 1900 ο Γερμανός μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ χαρακτήρισε την υπόθεση Ρίμαν μια από τις πιο σημαντικές ερωτήσεις σε όλα τα μαθηματικά, όπως υποδεικνύεται από τη συμπερίληψή του στον επιδραστικό κατάλογο των 23 άλυτων προβλημάτων με τα οποία αμφισβήτησε τους μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Το 1915 ο Άγγλος μαθηματικός Godfrey Hardy απέδειξε ότι ένας άπειρος αριθμός μηδενικών εμφανίζεται στην κρίσιμη γραμμή, και μέχρι το 1986 οι πρώτοι 1.500.000.001 μηδενικά μηδενικά αποδείχθηκαν όλοι να βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή. Αν και η υπόθεση μπορεί ακόμη να αποδειχθεί ψευδής, οι έρευνες για αυτό το δύσκολο πρόβλημα έχουν εμπλουτίσει την κατανόηση των πολύπλοκων αριθμών.
