Ανάλυση μαθηματικών

Ιστορικό ανάλυσης

Οι Έλληνες συναντούν συνεχή μεγέθη

Η ανάλυση αποτελείται από εκείνα τα τμήματα των μαθηματικών στα οποία η συνεχής αλλαγή είναι σημαντική. Αυτές περιλαμβάνουν τη μελέτη της κίνησης και της γεωμετρίας των λείων καμπυλών και επιφανειών - συγκεκριμένα, τον υπολογισμό των εφαπτομένων, των περιοχών και των όγκων. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί σημείωσαν μεγάλη πρόοδο τόσο στη θεωρία όσο και στην πρακτική της ανάλυσης. Η θεωρία τους επιβλήθηκε περίπου 500 π.Χ. από την ανακάλυψη των Πυθαγόρειων παράλογων μεγεθών και περίπου 450 π.Χ. από τα παράδοξα της κίνησης του Ζήνωνα.

Οι Πυθαγόρειοι και παράλογοι αριθμοί

Αρχικά, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι όλα τα πράγματα μπορούσαν να μετρηθούν από τους διακριτούς φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3,

) και τις αναλογίες τους (συνηθισμένα κλάσματα ή τους λογικούς αριθμούς). Αυτή η πεποίθηση κλονίστηκε, ωστόσο, από την ανακάλυψη ότι η διαγώνια ενός τετραγώνου μονάδας (δηλαδή, ένα τετράγωνο του οποίου οι πλευρές έχουν μήκος 1) δεν μπορεί να εκφραστεί ως λογικός αριθμός. Αυτή η ανακάλυψη πραγματοποιήθηκε από το δικό τους Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο διαπίστωσε ότι το τετράγωνο στην υποτεθείσα ενός δεξιού τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων στις άλλες δύο πλευρές - στη σύγχρονη σημειογραφία, c ² = a ² + b ². Σε ένα τετράγωνο μονάδας, η διαγώνια είναι η υπόθεση ενός δεξιού τριγώνου, με πλευρές a = b = 1; Ως εκ τούτου, το μέγεθός του είναι τετραγωνική ρίζα του 22 - ένας παράλογος αριθμός. Ενάντια στις δικές τους προθέσεις, οι Πυθαγόρειοι είχαν δείξει ότι οι λογικοί αριθμοί δεν αρκούσαν για τη μέτρηση ακόμη και απλών γεωμετρικών αντικειμένων. (Βλέπε πλευρική γραμμή: Ασύγκριτα.) Η αντίδρασή τους ήταν να δημιουργήσουν μια αριθμητική γραμμικών τμημάτων, όπως βρέθηκε στο Βιβλίο ΙΙ των Euclid's Elements (περίπου 300 bce), που περιελάμβανε μια γεωμετρική ερμηνεία των λογικών αριθμών. Για τους Έλληνες, τα τμήματα γραμμών ήταν πιο γενικά από τους αριθμούς, επειδή περιελάμβαναν συνεχή καθώς και διακριτά μεγέθη.

Πράγματι, η τετραγωνική ρίζα του√2 μπορεί να σχετίζεται με τους λογικούς αριθμούς μόνο μέσω μιας άπειρης διαδικασίας. Αυτό πραγματοποιήθηκε από τον Euclid, ο οποίος μελέτησε την αριθμητική και των λογικών αριθμών και των τμημάτων γραμμής. Ο διάσημος Ευκλείδειας αλγόριθμός του, όταν εφαρμόζεται σε ένα ζευγάρι φυσικών αριθμών, οδηγεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων στον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους. Ωστόσο, όταν εφαρμόζεται σε ένα ζεύγος τμημάτων γραμμής με παράλογο λόγο, όπως η τετραγωνική ρίζα των 2 και 1, αποτυγχάνει να τερματιστεί. Ο Euclid χρησιμοποίησε ακόμη και αυτήν την ιδιότητα μη τερματισμού ως κριτήριο για τον παραλογισμό. Έτσι, ο παράλογος αμφισβήτησε την ελληνική έννοια του αριθμού αναγκάζοντάς τους να ασχοληθούν με άπειρες διαδικασίες.

Τα παράδοξα του Zeno και η έννοια της κίνησης

Ακριβώς όπως η τετραγωνική ρίζα του√2 ήταν μια πρόκληση για την έννοια του αριθμού των Ελλήνων, τα παράδοξα του Zeno ήταν μια πρόκληση για την ιδέα της κίνησης. Στη Φυσική του (περίπου 350 π.Χ.), ο Αριστοτέλης ανέφερε τον Ζήνο ως εξής:

Δεν υπάρχει κίνηση γιατί αυτό που μετακινείται πρέπει να φτάσει στη μέση [της πορείας] πριν φτάσει στο τέλος.

Τα επιχειρήματα του Zeno είναι γνωστά μόνο μέσω του Αριστοτέλη, ο οποίος τα ανέφερε κυρίως για να τα αντικρούσει. Πιθανώς, ο Zeno σήμαινε ότι, για να φτάσει οπουδήποτε, πρέπει πρώτα να πάει στα μισά του δρόμου και πριν από αυτό το ένα τέταρτο του δρόμου και πριν από αυτό το ένα όγδοο του τρόπου και ούτω καθεξής. Επειδή αυτή η διαδικασία μισών αποστάσεων θα προχωρούσε στο άπειρο (μια έννοια που οι Έλληνες δεν θα δεχόταν όσο το δυνατόν περισσότερο), ο Ζήνο ισχυρίστηκε ότι «αποδεικνύει» ότι η πραγματικότητα αποτελείται από αμετάβλητο ον. Παρόλα αυτά, παρά την απεχθρότητα του απείρου, οι Έλληνες διαπίστωσαν ότι η ιδέα ήταν απαραίτητη στα μαθηματικά συνεχών μεγεθών. Έτσι, σκέφτηκαν το άπειρο όσο το δυνατόν καλύτερα, σε ένα λογικό πλαίσιο που ονομάζεται θεωρία των αναλογιών και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξάντλησης.

Η θεωρία των αναλογιών δημιουργήθηκε από τον Eudoxus περίπου 350 π.Χ. και διατηρήθηκε στο Βιβλίο V των Euclid's Elements. Καθιέρωσε μια ακριβή σχέση μεταξύ ορθολογικών μεγεθών και αυθαίρετων μεγεθών, ορίζοντας δύο μεγέθη ως ίσα εάν τα λογικά μεγέθη μικρότερα από αυτά ήταν τα ίδια. Με άλλα λόγια, δύο μεγέθη ήταν διαφορετικά μόνο αν υπήρχε ένα λογικό μέγεθος αυστηρά μεταξύ τους. Αυτός ο ορισμός εξυπηρετούσε μαθηματικούς για δύο χιλιετίες και άνοιξε το δρόμο για την αριθμητικοποίηση της ανάλυσης τον 19ο αιώνα, στον οποίο οι αυθαίρετοι αριθμοί καθορίστηκαν αυστηρά ως προς τους λογικούς αριθμούς. Η θεωρία των αναλογιών ήταν η πρώτη αυστηρή αντιμετώπιση της έννοιας των ορίων, μια ιδέα που βρίσκεται στον πυρήνα της σύγχρονης ανάλυσης. Με τους σύγχρονους όρους, η θεωρία του Eudoxus καθόρισε τα αυθαίρετα μεγέθη ως όρια ορθολογικών μεγεθών και τα βασικά θεωρήματα για το άθροισμα, τη διαφορά και το προϊόν των μεγεθών ήταν ισοδύναμα με τα θεωρήματα για το άθροισμα, τη διαφορά και το προϊόν των ορίων.