Ευκλείδεια Γεωμετρία
Αν εξετάσουμε την ευκλείδεια γεωμετρία, διακρίνουμε σαφώς ότι αναφέρεται στους νόμους που ρυθμίζουν τις θέσεις των άκαμπτων σωμάτων. Γίνεται απολογισμός της έξυπνης σκέψης για τον εντοπισμό όλων των σχέσεων που αφορούν τα σώματα και τις σχετικές θέσεις τους στην πολύ απλή έννοια «απόσταση» (Strecke). Η απόσταση υποδηλώνει ένα άκαμπτο σώμα στο οποίο έχουν προσδιοριστεί δύο σημεία υλικού (σημάδια). Η έννοια της ισότητας των αποστάσεων (και των γωνιών) αναφέρεται σε πειράματα που περιλαμβάνουν συμπτώσεις. οι ίδιες παρατηρήσεις ισχύουν και για τα θεωρήματα σχετικά με τη συμφωνία. Τώρα, η Ευκλείδεια γεωμετρία, με τη μορφή με την οποία μας έχει παραδοθεί από τον Ευκλείδη, χρησιμοποιεί τις θεμελιώδεις έννοιες «ευθεία γραμμή» και «επίπεδο» που δεν φαίνεται να αντιστοιχούν, ή σε καμία περίπτωση, όχι τόσο άμεσα, με εμπειρίες σχετικά με τη θέση των άκαμπτων σωμάτων. Σε αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια της ευθείας γραμμής μπορεί να μειωθεί σε αυτήν της απόστασης.1 Επιπλέον, οι γεωμετρητές δεν ενδιαφερόταν λιγότερο να αναδείξουν τη σχέση των θεμελιωδών εννοιών τους με την εμπειρία παρά από το να συνάγουν λογικά τις γεωμετρικές προτάσεις από μερικά αξιώματα που διατυπώθηκαν στην αρχή.
Ας περιγράψουμε εν συντομία πώς ίσως η βάση της Ευκλείδειας γεωμετρίας μπορεί να αποκτηθεί από την έννοια της απόστασης.
Ξεκινάμε από την ισότητα των αποστάσεων (αξίωμα της ισότητας των αποστάσεων). Ας υποθέσουμε ότι σε δύο άνισες αποστάσεις η μία είναι πάντα μεγαλύτερη από την άλλη. Τα ίδια αξιώματα ισχύουν για την ανισότητα των αποστάσεων όπως και για την ανισότητα των αριθμών.
Τρεις αποστάσεις AB 1, BC 1, CA 1 μπορούν, εάν το CA 1 επιλεγεί καταλλήλως, να έχουν τα σημάδια τους BB 1, CC 1, AA 1 το ένα πάνω στο άλλο έτσι ώστε να προκύπτει ένα τρίγωνο ABC. Η απόσταση CA 1 έχει ένα ανώτερο όριο για το οποίο αυτή η κατασκευή είναι ακόμα δυνατή. Τα σημεία A, (BB ') και C στη συνέχεια βρίσκονται σε μια "ευθεία γραμμή" (ορισμός). Αυτό οδηγεί στις έννοιες: παραγωγή μιας απόστασης ίσο με το ίδιο. χωρίζοντας μια απόσταση σε ίσα μέρη · εκφράζοντας μια απόσταση ως προς έναν αριθμό μέσω μιας ράβδου μέτρησης (ορισμός του διαστήματος-διαστήματος μεταξύ δύο σημείων).
Όταν η έννοια του διαστήματος μεταξύ δύο σημείων ή του μήκους μιας απόστασης έχει αποκτηθεί με αυτόν τον τρόπο, απαιτούμε μόνο το ακόλουθο αξίωμα (θεώρημα του Πυθαγόρα) για να φτάσουμε στην ευκλείδεια γεωμετρία αναλυτικά.
Σε κάθε σημείο του διαστήματος (σώμα αναφοράς) μπορούν να εκχωρηθούν τρεις αριθμοί (συντεταγμένες) x, y, z - και αντίστροφα - με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε ζεύγος σημείων A (x 1, y 1, z 1) και B (x 2, y 2, z 2) το θεώρημα διατηρεί:
μέτρο-αριθμός AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Όλες οι περαιτέρω έννοιες και προτάσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας μπορούν στη συνέχεια να δημιουργηθούν καθαρά λογικά σε αυτή τη βάση, ιδίως επίσης τις προτάσεις για την ευθεία γραμμή και το επίπεδο.
Αυτές οι παρατηρήσεις, φυσικά, δεν προορίζονται να αντικαταστήσουν την αυστηρά αξιωματική κατασκευή της ευκλείδειας γεωμετρίας. Θέλουμε απλώς να δείξουμε εύλογα πώς όλες οι αντιλήψεις της γεωμετρίας μπορούν να εντοπιστούν πίσω σε αυτήν της απόστασης. Θα μπορούσαμε εξίσου να επιτομήσουμε ολόκληρη τη βάση της ευκλείδειας γεωμετρίας στο τελευταίο θεώρημα παραπάνω. Στη συνέχεια, η σχέση με τα θεμέλια της εμπειρίας θα εφοδιαστεί με ένα συμπληρωματικό θεώρημα.
Η συντεταγμένη μπορεί και πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε δύο ζεύγη σημείων που διαχωρίζονται με ίσα διαστήματα, όπως υπολογίζονται με τη βοήθεια του θεώρηματος του Πυθαγόρα, να μπορούν να συμπίπτουν με την ίδια και την ίδια κατάλληλα επιλεγμένη απόσταση (σε ένα στερεό).
Οι έννοιες και οι προτάσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας μπορούν να προέρχονται από την πρόταση του Πυθαγόρα χωρίς την εισαγωγή άκαμπτων σωμάτων. Αλλά αυτές οι έννοιες και οι προτάσεις δεν θα είχαν τότε περιεχόμενο που θα μπορούσε να δοκιμαστεί. Δεν είναι «αληθινές» προτάσεις αλλά μόνο λογικά ορθές προτάσεις καθαρά τυπικού περιεχομένου.
