Αλγεβρική επιφάνεια

Αλγεβρική επιφάνεια, σε τρισδιάστατο χώρο, μια επιφάνεια της οποίας η εξίσωση είναι f (x, y, z) = 0, με f (x, y, z) ένα πολυώνυμο σε x, y, z. Η σειρά της επιφάνειας είναι ο βαθμός της πολυωνυμικής εξίσωσης. Εάν η επιφάνεια είναι της πρώτης τάξης, είναι επίπεδο. Εάν η επιφάνεια είναι της τάξης δύο, ονομάζεται τετράγωνη επιφάνεια. Περιστρέφοντας την επιφάνεια, η εξίσωση της μπορεί να έχει τη μορφήAx ² + By ² + Cz ² + Dx + Ey + Fz = G.

Εάν τα A, B, C δεν είναι όλα μηδενικά, η εξίσωση μπορεί γενικά να απλοποιηθεί στο formax ² + επί ² + cz ² = 1. Αυτή η επιφάνεια ονομάζεται ελλειψοειδές εάν τα a, b και c είναι θετικά. Εάν ένας από τους συντελεστές είναι αρνητικός, η επιφάνεια είναι υπερβολικό ένα φύλλο. Αν δύο από τους συντελεστές είναι αρνητικοί, η επιφάνεια είναι υπερβολικό δύο φύλλων. Ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου έχει ένα σημείο σέλας (ένα σημείο σε μια καμπύλη επιφάνεια σχήματος σαν σέλας στο οποίο οι καμπυλότητες σε δύο αμοιβαία κάθετα επίπεδα έχουν αντίθετα σημάδια, όπως μια σέλα καμπυλωμένη προς τη μία κατεύθυνση και προς τα κάτω σε άλλη).

Εάν τα A, B, C είναι πιθανώς μηδέν, τότε μπορούν να παραχθούν κύλινδροι, κώνοι, επίπεδα και ελλειπτικά ή υπερβολικά παραβολίδια. Παραδείγματα των τελευταίων είναι z = x ² + y ² και z = x ² −y ², αντίστοιχα. Σε κάθε σημείο ενός τετραγώνου περάστε δύο ευθείες γραμμές που βρίσκονται στην επιφάνεια. Μια κυβική επιφάνεια είναι μία της τάξης τρία. Έχει το ακίνητο που βρίσκονται 27 γραμμές πάνω του, κάθε μία συναντά 10 άλλες. Γενικά, μια επιφάνεια της τάξης τέσσερις ή περισσότερες δεν περιέχει ευθείες γραμμές.