János Bolyai, (γεννήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 1802, Kolozsvár, Ουγγαρία [τώρα Cluj, Ρουμανία] - πέθανε στις 27 Ιανουαρίου 1860, Marosvásárhely, Ουγγαρία [τώρα Târgu Mureş, Ρουμανία]), Ούγγρος μαθηματικός και ένας από τους ιδρυτές της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας - μια γεωμετρία που διαφέρει από την Ευκλείδεια γεωμετρία στον ορισμό των παράλληλων γραμμών. Η ανακάλυψη μιας σταθερής εναλλακτικής γεωμετρίας που μπορεί να αντιστοιχεί στη δομή του σύμπαντος βοήθησε να ελευθερώσει τους μαθηματικούς να μελετήσουν αφηρημένες έννοιες ανεξάρτητα από οποιαδήποτε πιθανή σύνδεση με τον φυσικό κόσμο.
Μέχρι την ηλικία των 13, ο Bolyai είχε κατακτήσει το λογισμό και την αναλυτική μηχανική υπό την εποπτεία του πατέρα του, του μαθηματικού Farkas Bolyai. Έγινε επίσης ένας καταξιωμένος βιολιστής σε νεαρή ηλικία και αργότερα έγινε γνωστός ως ένας θαυμάσιος ξιφομάχος. Σπούδασε στο Royal Engineering College στη Βιέννη (1818–22) και υπηρέτησε στο στρατολογικό σώμα (1822–33).
Η ανησυχία του πρεσβύτερου Bolyai με την απόδειξη του παράλληλου αξιώματος του Ευκλείδη μολύνει τον γιο του και, παρά τις προειδοποιήσεις του πατέρα του, ο János επέμεινε στην δική του αναζήτηση για λύση. Στις αρχές της δεκαετίας του 1820 κατέληξε στο συμπέρασμα ότι μια απόδειξη ήταν πιθανώς αδύνατη και άρχισε να αναπτύσσει μια γεωμετρία που δεν εξαρτάται από το αξίωμα του Ευκλείδη. Το 1831 δημοσίευσε το «Παράρτημα Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens» («Παράρτημα που εξηγεί την απολύτως αληθινή επιστήμη του διαστήματος»), ένα πλήρες και συνεπές σύστημα μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας ως παράρτημα στο βιβλίο του πατέρα του για τη γεωμετρία, Tentamen Juventutem Studiosam στο Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832, «Μια προσπάθεια να εισαχθεί η Σπουδαστική Νεολαία στα Στοιχεία των Καθαρών Μαθηματικών»).
Ένα αντίγραφο αυτής της εργασίας στάλθηκε στον Carl Friedrich Gauss στη Γερμανία, ο οποίος απάντησε ότι είχε ανακαλύψει τα κύρια αποτελέσματα μερικά χρόνια πριν. Αυτό ήταν ένα βαθύ χτύπημα για τους Bolyai, παρόλο που ο Gauss δεν είχε καμία αξίωση για προτεραιότητα, αφού δεν είχε δημοσιεύσει ποτέ τα ευρήματά του. Το δοκίμιο του Bolyai πέρασε απαρατήρητο από άλλους μαθηματικούς. Το 1848 ανακάλυψε ότι ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι είχε δημοσιεύσει μια περιγραφή της ίδιας σχεδόν γεωμετρίας το 1829.
Αν και ο Bolyai συνέχισε τις μαθηματικές του σπουδές, η σημασία του έργου του δεν αναγνωρίστηκε στη διάρκεια της ζωής του. Εκτός από τη δουλειά του στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία, ανέπτυξε μια γεωμετρική αντίληψη περίπλοκων αριθμών ως ταξινομημένα ζεύγη πραγματικών αριθμών.
