Λογάριθμος, ο εκθέτης ή η δύναμη στην οποία πρέπει να ανυψωθεί μια βάση για να δώσει έναν δεδομένο αριθμό. Εκφρασμένη μαθηματικά, το x είναι ο λογάριθμος του n στη βάση b εάν b x = n, οπότε κάποιος γράφει x = log b n. Για παράδειγμα, 2 3 = 8; Επομένως, το 3 είναι ο λογάριθμος από 8 έως τη βάση 2 ή 3 = log 2 8. Με τον ίδιο τρόπο, δεδομένου ότι 10 2 = 100, τότε 2 = log 10 100. Λογόριθμοι του τελευταίου είδους (δηλαδή, λογάριθμοι με βάση 10) ονομάζονται κοινά, ή Briggsian, λογάριθμοι και γράφονται απλά log n.
Εφευρέθηκε τον 17ο αιώνα για να επιταχύνει τους υπολογισμούς, οι λογάριθμοι μείωσαν κατά πολύ τον χρόνο που απαιτείται για τον πολλαπλασιασμό αριθμών με πολλά ψηφία. Ήταν βασικοί στην αριθμητική εργασία για περισσότερα από 300 χρόνια, έως ότου η τελειότητα των μηχανικών υπολογιστικών μηχανών στα τέλη του 19ου αιώνα και οι υπολογιστές τον 20ο αιώνα τους κατέστησαν ξεπερασμένους για υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας. Ο φυσικός λογάριθμος (με βάση e ≅ 2.71828 και γραμμένο ln n), ωστόσο, εξακολουθεί να είναι μία από τις πιο χρήσιμες λειτουργίες στα μαθηματικά, με εφαρμογές σε μαθηματικά μοντέλα σε όλες τις φυσικές και βιολογικές επιστήμες.
Ιδιότητες λογαρίθμων
Οι λογάριθμοι υιοθετήθηκαν γρήγορα από τους επιστήμονες λόγω των διαφόρων χρήσιμων ιδιοτήτων που απλοποίησαν τους μακροχρόνιους, κουραστικούς υπολογισμούς. Συγκεκριμένα, οι επιστήμονες θα μπορούσαν να βρουν το προϊόν δύο αριθμών m και n αναζητώντας το λογάριθμο κάθε αριθμού σε έναν ειδικό πίνακα, προσθέτοντας τους λογάριθμους μαζί και, στη συνέχεια, συμβουλευόμαστε ξανά τον πίνακα για να βρούμε τον αριθμό με αυτόν τον υπολογισμένο λογάριθμο (γνωστό ως αντιλόγορίθμός του). Εκφράζεται σε όρους κοινών λογάριθμων, αυτή η σχέση δίνεται από log mn = log m + log n. Για παράδειγμα, 100 × 1.000 μπορούν να υπολογιστούν αναζητώντας τους λογάριθμους των 100 (2) και 1.000 (3), προσθέτοντας τους λογάριθμους μαζί (5) και, στη συνέχεια, εντοπίζοντας τον αντιλογάρθημό του (100.000) στον πίνακα. Ομοίως, τα προβλήματα διαίρεσης μετατρέπονται σε προβλήματα αφαίρεσης με λογάριθμους: log m / n = log m - log n. Αυτό δεν είναι όλο. ο υπολογισμός των δυνάμεων και των ριζών μπορεί να απλοποιηθεί με τη χρήση λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι μπορούν επίσης να μετατραπούν μεταξύ οποιωνδήποτε θετικών βάσεων (εκτός από το ότι 1 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση αφού όλες οι δυνάμεις του είναι ίσες με 1), όπως φαίνεται στο
πίνακας λογαριθμικών νόμων.
Μόνο λογάριθμοι για αριθμούς μεταξύ 0 και 10 συμπεριλήφθηκαν συνήθως στους πίνακες λογάριθμου. Για να αποκτήσετε τον λογάριθμο κάποιου αριθμού εκτός αυτού του εύρους, ο αριθμός γράφτηκε για πρώτη φορά σε επιστημονική σημειογραφία ως το προϊόν των σημαντικών του ψηφίων και της εκθετικής του ισχύος - για παράδειγμα, το 358 θα γράφτηκε ως 3,58 × 10 2 και το 0,0046 θα γραφτεί ως 4,6 × 10 −3. Τότε ο λογάριθμος των σημαντικών ψηφίων - ένα δεκαδικό κλάσμα μεταξύ 0 και 1, γνωστό ως mantissa - θα βρεθεί σε έναν πίνακα. Για παράδειγμα, για να βρείτε το λογάριθμο του 358, κάποιος θα αναζητούσε το αρχείο καταγραφής 3,58 ≅ 0,55388. Επομένως, log 358 = log 3.58 + log 100 = 0.55388 + 2 = 2.55388. Στο παράδειγμα ενός αριθμού με αρνητικό εκθέτη, όπως 0,0046, κάποιος θα αναζητούσε log 4,6 ≅ 0,66276. Επομένως, log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 - 3 =.32,33724.
