Παραλλαγές και συνδυασμοί, οι διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορούν να επιλεγούν αντικείμενα από ένα σύνολο, γενικά χωρίς αντικατάσταση, για να σχηματίσουν υποσύνολα. Αυτή η επιλογή υποομάδων ονομάζεται παραλλαγή όταν η σειρά επιλογής είναι παράγοντας, συνδυασμός όταν η παραγγελία δεν είναι παράγοντας. Λαμβάνοντας υπόψη την αναλογία του αριθμού των επιθυμητών υποσύνολων προς τον αριθμό όλων των πιθανών υποσύνολων για πολλά τυχερά παιχνίδια τον 17ο αιώνα, οι Γάλλοι μαθηματικοί Blaise Pascal και Pierre de Fermat έδωσαν ώθηση στην ανάπτυξη της συνδυαστικής θεωρίας και της θεωρίας πιθανότητας.
συνδυασμός: Διωνυμικοί συντελεστές
Τα αντικείμενα n ονομάζονται παραλλαγή των n πραγμάτων που λαμβάνονται κάθε φορά. Ο αριθμός των παραλλαγών είναι
Οι έννοιες και οι διαφορές μεταξύ των παραλλαγών και των συνδυασμών μπορούν να απεικονιστούν με εξέταση όλων των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους ένα ζευγάρι αντικειμένων μπορεί να επιλεγεί από πέντε διακριτά αντικείμενα - όπως τα γράμματα A, B, C, D και E. Εάν και τα δύο Λαμβάνονται υπόψη τα επιλεγμένα γράμματα και η σειρά επιλογής, τότε είναι δυνατά τα ακόλουθα 20 αποτελέσματα:
Κάθε μία από αυτές τις 20 διαφορετικές πιθανές επιλογές ονομάζεται παραλλαγή. Συγκεκριμένα, καλούνται οι παραλλαγές πέντε αντικειμένων που λαμβάνονται δύο κάθε φορά, και ο αριθμός των δυνατών παραλλαγών συμβολίζεται με το σύμβολο 5 P 2, με την ένδειξη "5 permute 2." Σε γενικές γραμμές, εάν υπάρχουν n αντικείμενα διαθέσιμα από τα οποία μπορείτε να επιλέξετε, και οι μεταλλαγές (P) πρέπει να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας k των αντικειμένων κάθε φορά, ο αριθμός των διαφορετικών δυνατών παραλλαγών υποδηλώνεται με το σύμβολο n P k. Ένας τύπος για την αξιολόγησή του είναι n P k = n! / (N - k)! Η έκφραση n! - διάβασμα "n factorial" - υποδεικνύει ότι όλοι οι διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι από το 1 έως και το n πρέπει να πολλαπλασιαστούν μαζί, και 0! ορίζεται ως ίσο με 1. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, ο αριθμός των παραλλαγών πέντε αντικειμένων που λαμβάνονται δύο κάθε φορά είναι
(Για k = n, n P k = n! Έτσι, για 5 αντικείμενα υπάρχουν 5! = 120 διευθετήσεις.)
Για συνδυασμούς, τα αντικείμενα k επιλέγονται από ένα σύνολο αντικειμένων n για να παράγουν υποσύνολα χωρίς παραγγελία. Σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα παραλλαγής με τον αντίστοιχο συνδυασμό, τα υποσύνολα AB και BA δεν είναι πλέον ξεχωριστές επιλογές. με την εξάλειψη τέτοιων περιπτώσεων, παραμένουν μόνο 10 διαφορετικά πιθανά υποσύνολα - AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE και DE.
Ο αριθμός τέτοιων υποομάδων υποδηλώνεται με n C k, διαβάστε "n select k". Για συνδυασμούς, αφού τα αντικείμενα k έχουν k! ρυθμίσεις, υπάρχουν k! αδιάκριτες παραλλαγές για κάθε επιλογή αντικειμένων k · διαιρώντας έτσι τον τύπο μεταλλαγής με k! αποδίδει τον ακόλουθο τύπο συνδυασμού:
Αυτό είναι το ίδιο με τον (n, k) διωνυμικό συντελεστή (βλέπε διωνυμικό θεώρημα). Για παράδειγμα, ο αριθμός των συνδυασμών πέντε αντικειμένων που λαμβάνονται δύο κάθε φορά είναι
Οι τύποι για τα n P k και n C k καλούνται τύποι μέτρησης, δεδομένου ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση του αριθμού των πιθανών παραλλαγών ή συνδυασμών σε μια δεδομένη κατάσταση, χωρίς να χρειάζεται να τα καταγράψετε όλα.
