Πρόβλημα Sturm-Liouville, ή πρόβλημα ιδιοτιμίας, στα μαθηματικά, μια συγκεκριμένη κατηγορία μερικών διαφορικών εξισώσεων (PDEs) που υπόκεινται σε επιπλέον περιορισμούς, γνωστές ως οριακές τιμές, στις λύσεις. Τέτοιες εξισώσεις είναι κοινές τόσο στην κλασική φυσική (π.χ. θερμική αγωγιμότητα) όσο και στην κβαντική μηχανική (π.χ. εξίσωση Schrödinger) για την περιγραφή διαδικασιών όπου κάποια εξωτερική τιμή (οριακή τιμή) διατηρείται σταθερή ενώ το σύστημα ενδιαφέροντος μεταδίδει κάποια μορφή ενέργειας.
Στα μέσα της δεκαετίας του 1830 οι Γάλλοι μαθηματικοί Charles-François Sturm και Joseph Liouville εργάστηκαν ανεξάρτητα για το πρόβλημα της αγωγής θερμότητας μέσω μιας μεταλλικής ράβδου, στη διαδικασία ανάπτυξης τεχνικών για την επίλυση μιας μεγάλης κατηγορίας PDE, οι απλούστερες από τις οποίες έχουν τη μορφή [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 όπου το y είναι κάποια φυσική ποσότητα (ή η συνάρτηση κβαντικών μηχανικών κυμάτων) και το λ είναι μια παράμετρος, ή ιδιοτιμή, που περιορίζει την εξίσωση έτσι ότι y ικανοποιεί τις οριακές τιμές στα τελικά σημεία του διαστήματος πάνω από το οποίο κυμαίνεται η μεταβλητή x. Εάν οι συναρτήσεις p, q και r ικανοποιούν κατάλληλες συνθήκες, η εξίσωση θα έχει μια οικογένεια λύσεων, που ονομάζονται eigenfunctions, που αντιστοιχούν στις λύσεις eigenvalue.
Για την πιο περίπλοκη μη ομοιογενή περίπτωση στην οποία η δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης είναι συνάρτηση, f (x), αντί για μηδέν, οι ιδιοτιμές της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης μπορούν να συγκριθούν με τις ιδιοτιμές της αρχικής εξίσωσης. Εάν αυτές οι τιμές είναι διαφορετικές, το πρόβλημα θα έχει μια μοναδική λύση. Από την άλλη πλευρά, εάν ταιριάζει μία από αυτές τις ιδιοτιμές, το πρόβλημα δεν θα έχει καμία λύση ή μια ολόκληρη οικογένεια λύσεων, ανάλογα με τις ιδιότητες της συνάρτησης f (x).
