Kurt Gödel Αμερικανός μαθηματικός

Ο Kurt Gödel, ο Gödel έγραψε επίσης τον Goedel, (γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906, Brünn, Αυστρία-Ουγγαρία [τώρα Μπρνο, Τσεχική Δημοκρατία] - πέθανε 14 Ιανουαρίου 1978, Princeton, NJ, ΗΠΑ), μαθηματικός, λογικός και γεννημένος στην Αυστρία φιλόσοφος που απέκτησε το πιο σημαντικό μαθηματικό αποτέλεσμα του 20ού αιώνα: το διάσημο θεώρημα της ατελούς του, που δηλώνει ότι μέσα σε οποιοδήποτε αξιωματικό μαθηματικό σύστημα υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν ή να απορριφθούν με βάση τα αξιώματα μέσα σε αυτό το σύστημα. Έτσι, ένα τέτοιο σύστημα δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι πλήρες και συνεπές. Αυτή η απόδειξη καθιέρωσε τον Gödel ως έναν από τους μεγαλύτερους λογικούς από τον Αριστοτέλη και οι επιπτώσεις του συνεχίζουν να γίνονται αισθητές και συζητημένες σήμερα.

θεμέλια των μαθηματικών: Gödel

Σιωπηρό στο πρόγραμμα του Χίλμπερτ ήταν η ελπίδα ότι η συντακτική έννοια της αποδειξιμότητας θα συλλάβει τη σημασιολογική έννοια της αλήθειας. Γκόντελ

.

Πρόωρη ζωή και καριέρα

Ο Γκόντελ υπέφερε από αρκετές περιόδους κακής υγείας ως παιδί, μετά από μια περίοδο στην ηλικία των 6 ετών με ρευματικό πυρετό, γεγονός που τον άφησε φοβισμένο ότι είχε κάποιο υπολειπόμενο καρδιακό πρόβλημα. Η δια βίου ανησυχία του για την υγεία του μπορεί να συνέβαλε στην τελική παράνοια του, η οποία περιελάμβανε εμμονικά καθαρισμό των σκευών του και ανησυχώντας για την καθαρότητα του φαγητού του.

Ως Γερμανόφωνος Αυστριακός, ο Γκόντελ ξαφνικά ζούσε στη νεοσυσταθείσα χώρα της Τσεχοσλοβακίας, όταν η Αυστροουγγρική Αυτοκρατορία διαλύθηκε στο τέλος του Α 'Παγκοσμίου Πολέμου το 1918. Ωστόσο, έξι χρόνια αργότερα, πήγε να σπουδάσει στην Αυστρία, στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης, όπου απέκτησε το διδακτορικό του στα μαθηματικά το 1929. Έγινε μέλος της σχολής στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης τον επόμενο χρόνο.

Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η Βιέννη ήταν ένας από τους διανοητικούς κόμβους του κόσμου. Ήταν το σπίτι του φημισμένου Κύκλου της Βιέννης, μιας ομάδας επιστημόνων, μαθηματικών και φιλοσόφων που ενέκριναν τη νατουραλιστική, έντονα εμπειρική και αντιμεταφυσική άποψη γνωστή ως λογική θετικισμός. Ο σύμβουλος διατριβής του Gödel, Hans Hahn, ήταν ένας από τους ηγέτες του Κύκλου της Βιέννης και εισήγαγε τον αστέρα του στην ομάδα. Ωστόσο, οι φιλοσοφικές απόψεις του Gödel δεν θα μπορούσαν να ήταν πιο διαφορετικές από αυτές των θετικιστών. Προσυπογράφησε τον πλατωνισμό, τον θεϊσμό και τον δυϊσμό νου-σώματος. Επιπλέον, ήταν επίσης κάπως ψυχικά ασταθής και υπέστη παράνοια - ένα πρόβλημα που χειροτέρευε καθώς γερνούσε. Έτσι, η επαφή του με τα μέλη του Κύκλου της Βιέννης τον άφησε με την αίσθηση ότι ο 20ος αιώνας ήταν εχθρικός με τις ιδέες του.

Θεωρήματα του Gödel

Στη διδακτορική του διατριβή, «Über die Vollständigkeit des Logikkalküls» («Σχετικά με την πληρότητα του Λογισμού της Λογικής»), που δημοσιεύθηκε σε μια ελαφρώς συντομευμένη μορφή το 1930, ο Gödel απέδειξε ένα από τα πιο σημαντικά λογικά αποτελέσματα του αιώνα - πράγματι, του διαρκώς - δηλαδή, το θεώρημα πληρότητας, το οποίο καθιέρωσε ότι η κλασική λογική πρώτης τάξης, ή το predicate calculus, είναι πλήρης υπό την έννοια ότι όλες οι λογικές αλήθειες πρώτης τάξης μπορούν να αποδειχθούν σε τυποποιημένα συστήματα απόδειξης πρώτης τάξης.

Αυτό, ωστόσο, δεν ήταν τίποτα σε σύγκριση με αυτό που δημοσίευσε ο Gödel το 1931 - δηλαδή, το θεώρημα της ελλιπούς: "“ber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("On Formal Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems"). Σε γενικές γραμμές, αυτό το θεώρημα καθόρισε το αποτέλεσμα ότι είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί η αξιωματική μέθοδος για την κατασκευή μιας μαθηματικής θεωρίας, σε οποιονδήποτε κλάδο των μαθηματικών, που συνεπάγεται όλες τις αλήθειες σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών. (Στην Αγγλία, ο Alfred North Whitehead και ο Bertrand Russell είχαν περάσει χρόνια σε ένα τέτοιο πρόγραμμα, το οποίο δημοσίευσαν ως Principia Mathematica σε τρεις τόμους το 1910, το 1912 και το 1913.) Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να βρούμε μια αξιωματική μαθηματική θεωρία που συλλαμβάνει ακόμη και όλες τις αλήθειες για τους φυσικούς αριθμούς (0, 1, 2, 3,

). Αυτό ήταν ένα εξαιρετικά σημαντικό αρνητικό αποτέλεσμα, όπως πριν από το 1931 πολλοί μαθηματικοί προσπαθούσαν να κάνουν ακριβώς αυτό - κατασκευάστε συστήματα αξιώματος που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουν όλες τις μαθηματικές αλήθειες. Πράγματι, αρκετοί γνωστοί λογικοί και μαθηματικοί (π.χ. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) πέρασαν σημαντικά τμήματα της καριέρας τους σε αυτό το έργο. Δυστυχώς για αυτούς, το θεώρημα του Gödel κατέστρεψε ολόκληρο το αξιωματικό ερευνητικό πρόγραμμα.

Διεθνές αστέρι και μετακίνηση στις Ηνωμένες Πολιτείες

Μετά τη δημοσίευση του θεωρήματος ατελούς, ο Gödel έγινε μια διεθνώς γνωστή πνευματική προσωπικότητα. Ταξίδεψε στις Ηνωμένες Πολιτείες αρκετές φορές και δίδαξε εκτενώς στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον στο Νιου Τζέρσεϋ, όπου γνώρισε τον Άλμπερτ Αϊνστάιν. Αυτή ήταν η αρχή μιας στενής φιλίας που θα διαρκούσε μέχρι το θάνατο του Αϊνστάιν το 1955.

Ωστόσο, κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου άρχισε να επιδεινώνεται η ψυχική υγεία του Gödel. Υπέφερε από περιόδους κατάθλιψης και, μετά τη δολοφονία του Moritz Schlick, ενός από τους ηγέτες του Κύκλου της Βιέννης, από έναν απογοητευμένο μαθητή, ο Gödel υπέστη νευρική βλάβη. Στα επόμενα χρόνια, υπέφερε αρκετά ακόμη.

Αφού η Ναζιστική Γερμανία προσχώρησε στην Αυστρία στις 12 Μαρτίου 1938, ο Γκόντελ βρέθηκε σε μια μάλλον αδέξια κατάσταση, εν μέρει επειδή είχε μακρά ιστορία στενών σχέσεων με διάφορα Εβραϊκά μέλη του Κύκλου της Βιέννης (πράγματι, είχε επιτεθεί στους δρόμους της Βιέννης από νέους που πίστευαν ότι ήταν Εβραίος) και εν μέρει επειδή κινδύνευε ξαφνικά να στρατολογηθεί στο γερμανικό στρατό. Στις 20 Σεπτεμβρίου 1938, ο Gödel παντρεύτηκε την Adele Nimbursky (née Porkert) και, όταν ξέσπασε ο Β 'Παγκόσμιος Πόλεμος ένα χρόνο αργότερα, έφυγε από την Ευρώπη με τη σύζυγό του, παίρνοντας τον τρανς Σιβηριανό σιδηρόδρομο σε όλη την Ασία, ταξιδεύοντας στον Ειρηνικό Ωκεανό, και έπειτα πήρε ένα άλλο τρένο στις Ηνωμένες Πολιτείες στο Πρίνστον της Νέας Υόρκης, όπου, με τη βοήθεια του Αϊνστάιν, ανέλαβε θέση στο νεοσυσταθέν Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών (IAS). Πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του δουλεύοντας και διδάσκοντας στο IAS, από το οποίο αποσύρθηκε το 1976. Ο Gödel έγινε πολίτης των ΗΠΑ το 1948. (Ο Αϊνστάιν παρακολούθησε την ακρόασή του επειδή η συμπεριφορά του Gödel ήταν μάλλον απρόβλεπτη και ο Einstein φοβόταν ότι ο Gödel θα μπορούσε να σαμποτάρει δική του περίπτωση.)

Το 1940, λίγους μόνο μήνες μετά την άφιξή του στο Πρίνστον, ο Γκόντελ δημοσίευσε ένα άλλο κλασικό μαθηματικό έγγραφο, «Συνοχή του Αξιώματος της Επιλογής και της Γενικευμένης Συνέχειας-Υπόθεσης με τα Αξιώματα της Θεωρίας του Σετ», που απέδειξε ότι το αξίωμα της επιλογής και το συνεχές Η υπόθεση είναι σύμφωνη με τα τυπικά αξιώματα (όπως τα αξιώματα Zermelo-Fraenkel) της θεωρίας συνόλων. Αυτό καθιέρωσε το ήμισυ μιας εικασίας του Γκόντελ - δηλαδή, ότι η συνεχής υπόθεση δεν μπορούσε να αποδειχθεί αληθινή ή ψευδής σε τυποποιημένες θεωρίες συνόλων. Η απόδειξη του Gödel έδειξε ότι δεν μπορούσε να αποδειχθεί ψευδής σε αυτές τις θεωρίες. Το 1963 ο Αμερικανός μαθηματικός Paul Cohen απέδειξε ότι δεν μπορούσε να αποδειχθεί αλήθεια και σε αυτές τις θεωρίες, δικαιολογώντας την εικασία του Gödel.

Το 1949 ο Gödel συνέβαλε επίσης σημαντικά στη φυσική, δείχνοντας ότι η θεωρία της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν επιτρέπει τη δυνατότητα ταξιδιού στο χρόνο.