Επίσημη λογική

Σημασιολογικός πίνακας

Από τη δεκαετία του 1980 μια άλλη τεχνική για τον προσδιορισμό της εγκυρότητας των επιχειρημάτων είτε σε υπολογιστή είτε σε LPC έχει αποκτήσει κάποια δημοτικότητα, λόγω τόσο της ευκολίας της εκμάθησης όσο και της απλής εφαρμογής της από προγράμματα υπολογιστών. Αρχικά προτάθηκε από τον Ολλανδό λογικό Evert W. Beth, αναπτύχθηκε και δημοσιεύθηκε πληρέστερα από τον Αμερικανό μαθηματικό και λογικό Raymond M. Smullyan. Στηριζόμενη στην παρατήρηση ότι είναι αδύνατο για τις βάσεις ενός έγκυρου επιχειρήματος να είναι αληθής ενώ το συμπέρασμα είναι ψευδές, αυτή η μέθοδος επιχειρεί να ερμηνεύσει (ή να αξιολογήσει) τις εγκαταστάσεις με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι όλοι ταυτόχρονα ικανοποιημένοι και η άρνηση του το συμπέρασμα είναι επίσης ικανοποιημένο. Η επιτυχία σε μια τέτοια προσπάθεια θα έδειχνε ότι το επιχείρημα είναι άκυρο, ενώ η μη εύρεση μιας τέτοιας ερμηνείας θα έδειχνε ότι είναι έγκυρη.

Η κατασκευή ενός σημασιολογικού πίνακα σημειώνεται ως εξής: εκφράστε τις προϋποθέσεις και την άρνηση του συμπεράσματος ενός επιχειρήματος σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας μόνο την άρνηση (∼) και τη διάσπαση (∨) ως προαιρετικά συνδετικά. Εξαλείψτε κάθε εμφάνιση δύο σημείων άρνησης σε μια ακολουθία (π.χ. το ∼∼∼∼∼a γίνεται ∼a). Τώρα κατασκευάστε ένα διάγραμμα δέντρων που διακλαδίζεται προς τα κάτω έτσι ώστε κάθε διάσπαση να αντικαθίσταται από δύο κλαδιά, ένα για το αριστερό αποσυνδεδεμένο και ένα για το δεξί. Η αρχική διάσπαση είναι αληθής εάν και οι δύο κλάδοι είναι αληθείς. Η παραπομπή στους νόμους της De Morgan δείχνει ότι η άρνηση μιας διάσπασης είναι αληθινή μόνο στην περίπτωση που οι αναιρέσεις και των δύο διακοπών είναι αληθινές [δηλαδή, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Αυτή η σημασιολογική παρατήρηση οδηγεί στον κανόνα ότι η άρνηση μιας διάταξης γίνεται ένας κλάδος που περιέχει την άρνηση κάθε αποσύνδεσης:

Εξετάστε το ακόλουθο επιχείρημα:

Γράφω:

Τώρα ξεφύγετε από τη διάσπαση και σχηματίστε δύο κλάδους:

Μόνο εάν όλες οι προτάσεις σε τουλάχιστον έναν κλάδο είναι αληθείς, είναι δυνατόν οι αρχικές υποθέσεις να είναι αληθείς και το συμπέρασμα ψευδές (ισοδύναμα για την άρνηση του συμπεράσματος). Με την ανίχνευση της γραμμής προς τα πάνω σε κάθε κλαδί στην κορυφή του δέντρου, κάποιος παρατηρεί ότι καμία αποτίμηση του α στο αριστερό κλαδί δεν θα έχει ως αποτέλεσμα όλες οι προτάσεις σε αυτόν τον κλάδο να λάβουν την τιμή αληθινή (λόγω της παρουσίας a και ∼a). Ομοίως, στο σωστό κλάδο, η παρουσία των b και ∼b καθιστά αδύνατη για μια αποτίμηση να έχει ως αποτέλεσμα όλες οι προτάσεις του κλάδου να λαμβάνουν την τιμή αληθινή. Αυτοί είναι όλοι οι πιθανοί κλάδοι. Επομένως, είναι αδύνατο να βρεθεί μια κατάσταση στην οποία οι εγκαταστάσεις είναι αληθείς και το συμπέρασμα ψευδές. Επομένως, το αρχικό επιχείρημα είναι έγκυρο.

Αυτή η τεχνική μπορεί να επεκταθεί για να αντιμετωπίσει άλλα συνδετικά:

Επιπλέον, στο LPC, πρέπει να εισαχθούν κανόνες για την παρουσίαση ποσοτικοποιημένων wffs. Είναι προφανές ότι κάθε κλάδος που περιέχει και τα δύο (∀x) ϕx και ∼ϕy είναι ένα στον οποίο δεν μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα όλες οι προτάσεις σε αυτόν τον κλάδο (υπό την προϋπόθεση ω-συνέπειας, βλέπε metalogic). Και πάλι, εάν όλοι οι κλάδοι δεν είναι ταυτόχρονα ικανοποιητικοί, το αρχικό επιχείρημα είναι έγκυρο.

Ειδικά συστήματα LPC

Το LPC όπως περιγράφεται παραπάνω μπορεί να τροποποιηθεί είτε περιορίζοντας είτε επεκτείνοντας το εύρος των wff με διάφορους τρόπους:

• 1. Μερικά συστήματα LPC. Μερικά από τα πιο σημαντικά συστήματα που παράγονται από τον περιορισμό περιγράφονται εδώ:

  • a. Μπορεί να απαιτείται κάθε μεταβλητή predicate να είναι μονοδανική, επιτρέποντας παράλληλα έναν άπειρο αριθμό μεμονωμένων και predicate μεταβλητών. Τα ατομικά wffs είναι τότε απλά εκείνα που αποτελούνται από μια αρχική μεταβλητή ακολουθούμενη από μια μεμονωμένη μεταβλητή. Διαφορετικά, οι κανόνες σχηματισμού παραμένουν όπως πριν, και ο ορισμός της εγκυρότητας είναι επίσης όπως και πριν, αν και απλοποιείται με προφανείς τρόπους. Αυτό το σύστημα είναι γνωστό ως το monadic LPC. παρέχει μια λογική ιδιοτήτων αλλά όχι σχέσεων. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό αυτού του συστήματος είναι ότι είναι κρίσιμο. (Η εισαγωγή ακόμη και μιας μεμονωμένης δυαδικής μεταβλητής predicate, ωστόσο, θα έκανε το σύστημα αναποφάσιστο και, στην πραγματικότητα, ακόμη και το σύστημα που περιέχει μόνο μία μόνο δυαδική μεταβλητή predicate και καμία άλλη μεταβλητή predicate δεν έχει αποδειχθεί καθόλου.)

  • bA ένα ακόμα απλούστερο σύστημα μπορεί να σχηματιστεί απαιτώντας (1) κάθε μεταβλητή predicate να είναι μονοδική, (2) να χρησιμοποιείται μόνο μία μεμονωμένη μεταβλητή (π.χ. x), (3) να δεσμεύεται κάθε εμφάνιση αυτής της μεταβλητής και (4) ότι δεν υπάρχει ποσοτικός προσδιοριστής εντός του πεδίου οποιουδήποτε άλλου. Παραδείγματα wffs αυτού του συστήματος είναι (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("Ό, τι είναι ϕ είναι ψ και χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("Υπάρχει κάτι που είναι ϕ αλλά όχι ψ"); και (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("Εάν ό, τι είναι ϕ είναι ψ, τότε κάτι είναι ϕ και ψ"). Η σημειογραφία για αυτό το σύστημα μπορεί να απλοποιηθεί παραλείποντας x παντού και γράφοντας ∃ϕ για «Κάτι είναι ϕ», ∀ (ϕ ⊃ ψ) για «Ό, τι είναι ϕ είναι ψ» και ούτω καθεξής. Αν και αυτό το σύστημα είναι πιο στοιχειώδες, ακόμη και από το μονοαδικό LPC (του οποίου είναι ένα θραύσμα), οι μορφές ενός μεγάλου εύρους συμπερασμάτων μπορούν να αναπαρασταθούν σε αυτό. Είναι επίσης ένα αποφασιστικό σύστημα, και μπορούν να δοθούν διαδικασίες στοιχειώδους απόφασης.

• 2. Επεκτάσεις LPC Πιο περίπλοκα συστήματα, στα οποία μπορεί να εκφραστεί ένα ευρύτερο φάσμα προτάσεων, έχουν κατασκευαστεί προσθέτοντας στο LPC νέα σύμβολα διαφόρων τύπων. Οι πιο απλές από αυτές τις προσθήκες είναι:

  • α. Μία ή περισσότερες μεμονωμένες σταθερές (ας πούμε, a, b,

    ): αυτές οι σταθερές ερμηνεύονται ως ονόματα συγκεκριμένων ατόμων. τυπικά διακρίνονται από μεμονωμένες μεταβλητές από το γεγονός ότι δεν μπορούν να συμβούν εντός ποσοτικοποιητών. π.χ., (∀x) είναι ένας ποσοτικός προσδιοριστής, αλλά (∀a) δεν είναι.

  • β. Μία ή περισσότερες σταθερές κατηγοριών (ας πούμε, Α, Β,

    ), καθένας από ορισμένο βαθμό, που θεωρείται ότι ορίζει συγκεκριμένες ιδιότητες ή σχέσεις.

Μια περαιτέρω πιθανή προσθήκη, η οποία απαιτεί κάπως πληρέστερη εξήγηση, αποτελείται από σύμβολα σχεδιασμένα να αντιστοιχούν σε λειτουργίες. Η έννοια μιας συνάρτησης μπορεί να εξηγηθεί επαρκώς για τους παρόντες σκοπούς ως εξής. Λέγεται ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη συνάρτηση των ορισμάτων n (ή, του βαθμού n) όταν υπάρχει ένας κανόνας που καθορίζει ένα μοναδικό αντικείμενο (που ονομάζεται η τιμή της συνάρτησης) όποτε ορίζονται όλα τα ορίσματα. Στον τομέα των ανθρώπων, για παράδειγμα, «η μητέρα του -» είναι μια μονοαδική συνάρτηση (συνάρτηση ενός επιχειρήματος), καθώς για κάθε άνθρωπο υπάρχει ένα μοναδικό άτομο που είναι η μητέρα του. και στον τομέα των φυσικών αριθμών (δηλαδή 0, 1, 2,

), "Το άθροισμα - και -" είναι μια συνάρτηση δύο ορισμάτων, καθώς για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών υπάρχει ένας φυσικός αριθμός που είναι το άθροισμά τους. Ένα σύμβολο συνάρτησης μπορεί να θεωρηθεί ότι σχηματίζει ένα όνομα από άλλα ονόματα (τα επιχειρήματά του). Έτσι, κάθε φορά που οι αριθμοί ονομάτων x και y, το "άθροισμα των x και y" ονομάζει επίσης έναν αριθμό, και παρόμοια για άλλα είδη συναρτήσεων και ορίσματα.

Για να καταστεί δυνατή η έκφραση συναρτήσεων σε LPC, ενδέχεται να προστεθούν:

• γ. Μία ή περισσότερες μεταβλητές συνάρτησης (ας πούμε, f, g,

  ) ή μία ή περισσότερες σταθερές λειτουργίας (ας πούμε, F, G,

  ) ή και τα δύο, καθένα από κάποιο συγκεκριμένο βαθμό. Οι πρώτες ερμηνεύονται ως κυμαινόμενες σε συναρτήσεις των βαθμών που καθορίζονται και η δεύτερη ως καθορισμός ειδικών συναρτήσεων αυτού του βαθμού.

Όταν κάποιο ή όλα τα a-c προστίθενται στο LPC, οι κανόνες σχηματισμού που αναφέρονται στην πρώτη παράγραφο της ενότητας στο κατώτερο predicate calculus (βλ. Παραπάνω Το κατώτερο predicate calculus) πρέπει να τροποποιηθούν για να καταστεί δυνατή η ενσωμάτωση των νέων συμβόλων wffs. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: Ένας όρος ορίζεται αρχικά ως είτε (1) μια μεμονωμένη μεταβλητή ή (2) μια μεμονωμένη σταθερά ή (3) οποιαδήποτε έκφραση που σχηματίζεται προθέτοντας μια μεταβλητή συνάρτησης ή μια σταθερά λειτουργίας βαθμού n σε οποιονδήποτε όρο n (Αυτοί οι όροι - τα ορίσματα του συμβόλου συνάρτησης - συνήθως διαχωρίζονται με κόμματα και περικλείονται σε παρενθέσεις). Ο κανόνας σχηματισμού 1 αντικαθίσταται στη συνέχεια από:

• 1′. Μια έκφραση που αποτελείται από μια predicate μεταβλητή ή σταθερή predicate του βαθμού n ακολουθούμενη από n όρους είναι ένα wff.

Η αξιωματική βάση που δίνεται στην ενότητα για τον αξιωματισμό του LPC (βλ. Παραπάνω Αξιωματισμός του LPC) απαιτεί επίσης την ακόλουθη τροποποίηση: στο σχήμα αξιώματος 2 οποιοσδήποτε όρος επιτρέπεται να αντικαταστήσει ένα όταν σχηματίζεται το β, υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει ελεύθερη μεταβλητή στο ο όρος δεσμεύεται στο β. Τα ακόλουθα παραδείγματα θα επεξηγήσουν τη χρήση των προαναφερθεισών προσθηκών στο LPC: αφήστε τις τιμές των μεμονωμένων μεταβλητών να είναι οι φυσικοί αριθμοί. Αφήστε τις μεμονωμένες σταθερές a και b να αντιστοιχούν στους αριθμούς 2 και 3, αντίστοιχα. ας σημαίνει "είναι πρωταρχικό"? και αφήστε το F να αντιπροσωπεύει τη δυαδική συνάρτηση «το άθροισμα του». Στη συνέχεια, το AF (a, b) εκφράζει την πρόταση "Το άθροισμα των 2 και 3 είναι πρωταρχικό" και (∃x) Το AF (x, a) εκφράζει την πρόταση "Υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε το άθροισμά του και το 2 να είναι πρωταρχικό"

Η εισαγωγή σταθερών συνήθως συνοδεύεται από την προσθήκη στην αξιωματική βάση ειδικών αξιωμάτων που περιέχουν αυτές τις σταθερές, σχεδιασμένες να εκφράζουν αρχές που κρατούν τα αντικείμενα, τις ιδιότητες, τις σχέσεις ή τις λειτουργίες που αντιπροσωπεύουν - αν και δεν συγκρατούν αντικείμενα, ιδιότητες, σχέσεις ή λειτουργίες γενικά. Μπορεί να αποφασιστεί, για παράδειγμα, να χρησιμοποιηθεί η σταθερά Α για την αναπαράσταση της δυαδικής σχέσης «είναι μεγαλύτερη από» (έτσι ώστε το Axy να σημαίνει «το x είναι μεγαλύτερο από το y» και ούτω καθεξής). Αυτή η σχέση, σε αντίθεση με πολλούς άλλους, είναι μεταβατική. δηλαδή, εάν ένα αντικείμενο είναι μεγαλύτερο από ένα δευτερόλεπτο και αυτό το δεύτερο είναι με τη σειρά του μεγαλύτερο από το ένα τρίτο, τότε το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το τρίτο. Ως εκ τούτου, μπορεί να προστεθεί το ακόλουθο ειδικό σχήμα αξιώματος: εάν τα t ₁, t ₂ και t ₃ είναι οποιοσδήποτε όρος, τότε (σε ₁ t ₂ · Σε ₂ t ₃) ⊃ Στο ₁ t ₃ είναι ένα αξίωμα. Με τέτοια μέσα μπορούν να κατασκευαστούν συστήματα για να εκφράζουν τις λογικές δομές διαφόρων ειδικών κλάδων. Ο τομέας στον οποίο έχει γίνει το μεγαλύτερο μέρος αυτού του είδους είναι αυτός της φυσικής αριθμητικής.

Ο υπολογιστής και το LPC μερικές φορές συνδυάζονται σε ένα μόνο σύστημα. Αυτό μπορεί να γίνει πιο απλά με την προσθήκη προτασιακών μεταβλητών στον κατάλογο των LPC πρωτόγονων, προσθέτοντας έναν κανόνα σχηματισμού στο ότι μια προτεινόμενη μεταβλητή που στέκεται μόνη της είναι wff και διαγράφοντας το "LPC" στο σχήμα αξιώματος 1. Αυτό αποδίδει ως wffs τέτοιες εκφράσεις ως (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx και (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3. LPC-με-ταυτότητα. Η λέξη «είναι» δεν χρησιμοποιείται πάντα με τον ίδιο τρόπο. Σε μια πρόταση όπως (1) «Το Socrates είναι μύτη», η έκφραση που προηγείται του «είναι» ονομάζει ένα άτομο και η έκφραση που ακολουθεί σημαίνει μια ιδιότητα που αποδίδεται σε αυτό το άτομο. Όμως, σε μια πρόταση όπως (2) «Ο Σωκράτης είναι ο Αθηναίος φιλόσοφος που έπινε αιματοκύτταρο», οι εκφράσεις που προηγούνται και ακολουθούν το «είναι» και τα δύο ονόματα ατόμων και η αίσθηση ολόκληρης της πρότασης είναι ότι το άτομο που ονομάζεται το πρώτο είναι το ίδιο άτομο με το άτομο που ονομάζεται από το δεύτερο. Έτσι, στο 2 "είναι" μπορεί να επεκταθεί σε "είναι το ίδιο άτομο με," ενώ σε 1 δεν μπορεί. Όπως χρησιμοποιείται στο 2, το «είναι» σημαίνει μια δυαδική σχέση –δηλαδή την ταυτότητα– που η πρόταση ισχυρίζεται ότι διατηρεί μεταξύ των δύο ατόμων. Μια πρόταση ταυτότητας πρέπει να γίνει κατανοητή σε αυτό το πλαίσιο ως ισχυρισμός όχι περισσότερο από αυτό. Ειδικότερα, δεν πρέπει να θεωρηθεί ότι οι δύο εκφράσεις ονομασίας έχουν την ίδια έννοια. Ένα πολύ συζητημένο παράδειγμα για να δείξει αυτό το τελευταίο σημείο είναι «Το αστέρι πρωινού είναι το αστέρι βραδιού» Είναι ψευδές ότι οι εκφράσεις "το αστέρι του πρωινού" και "το αστέρι το βράδυ" σημαίνουν τα ίδια, αλλά είναι αλήθεια ότι το αντικείμενο που αναφέρεται από το πρώτο είναι το ίδιο με αυτό που αναφέρεται από το δεύτερο (ο πλανήτης Αφροδίτη).

Για να καταστεί δυνατή η έκφραση των μορφών προτάσεων ταυτότητας, προστίθεται μια δυαδική σταθερά κατηγορήματος στο LPC, για την οποία η πιο συνηθισμένη σημείωση είναι = (γραμμένο μεταξύ, αντί πριν, των επιχειρημάτων του). Η επιδιωκόμενη ερμηνεία του x = y είναι ότι το x είναι το ίδιο άτομο με το y και η πιο βολική ανάγνωση είναι "το x είναι πανομοιότυπο με το y". Η άρνησή του ∼ (x = y) συντομεύεται συνήθως ως x ≠ y. Στον ορισμό ενός μοντέλου LPC που δόθηκε νωρίτερα (βλ. Παραπάνω Ισχύς στο LPC) τώρα προστέθηκε ο κανόνας (ο οποίος συμφωνεί με προφανή τρόπο με την προβλεπόμενη ερμηνεία) ότι η τιμή του x = y πρέπει να είναι 1 εάν το ίδιο μέλος του Το D αντιστοιχεί σε x και y και ότι διαφορετικά η τιμή του είναι 0; Η εγκυρότητα μπορεί τότε να οριστεί όπως πριν. Οι ακόλουθες προσθήκες (ή μερικές ισοδύναμες) γίνονται στην αξιωματική βάση για LPC: το αξίωμα x = x και το σχήμα αξιώματος που, όπου a και b είναι μεμονωμένες μεταβλητές και τα α και β είναι wffs που διαφέρουν μόνο σε αυτό, στο ένα ή περισσότερα μέρη όπου το α έχει ελεύθερη εμφάνιση του α, το β έχει ελεύθερη εμφάνιση του b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) είναι ένα αξίωμα. Ένα τέτοιο σύστημα είναι γνωστό ως κατώτερο predicate-calculus-with-ταυτότητα. Φυσικά μπορεί να αυξηθεί περαιτέρω με τους άλλους τρόπους που αναφέρονται παραπάνω στην ενότητα "Επεκτάσεις του LPC", οπότε οποιοσδήποτε όρος μπορεί να αποτελεί επιχείρημα =.

Η ταυτότητα είναι σχέση ισοδυναμίας. δηλαδή, είναι αντανακλαστικό, συμμετρικό και μεταβατικό. Η αντανακλαστικότητά του εκφράζεται απευθείας στο αξίωμα x = x και τα θεωρήματα που εκφράζουν τη συμμετρία και τη μεταβατικότητα μπορούν εύκολα να προκύψουν από τη δεδομένη βάση.

Ορισμένα wffs LPC-με-ταυτότητα εκφράζουν προτάσεις σχετικά με τον αριθμό των πραγμάτων που διαθέτουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. «Τουλάχιστον ένα πράγμα είναι ϕ», φυσικά, μπορεί ήδη να εκφραστεί με το (∃x) ϕx. "Τουλάχιστον δύο διαφορετικά (μη ταυτόσημα) πράγματα είναι ϕ" μπορούν τώρα να εκφραστούν με (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y). και η ακολουθία μπορεί να συνεχιστεί με προφανή τρόπο. "Το πολύ ένα πράγμα είναι ϕ" (δηλαδή, "Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά πράγματα και τα δύο ϕ") μπορεί να εκφραστεί με την άρνηση του τελευταίου wff ή από το αντίστοιχο του, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] και η ακολουθία μπορεί και πάλι να συνεχιστεί εύκολα. Ένας τύπος για "Ακριβώς ένα πράγμα είναι ϕ" μπορεί να ληφθεί συνδέοντας τους τύπους για "Τουλάχιστον ένα πράγμα είναι ϕ" και "Το πολύ ένα πράγμα είναι ϕ", αλλά ένα απλούστερο wff ισοδύναμο με αυτήν τη σύνδεση είναι (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], που σημαίνει "Υπάρχει κάτι που είναι ϕ, και οτιδήποτε είναι ϕ είναι αυτό το πράγμα." Η πρόταση "Ακριβώς δύο πράγματα ϕ" μπορεί να αναπαρασταθεί με (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; δηλαδή, "Υπάρχουν δύο μη ταυτόσημα πράγματα, καθένα από τα οποία είναι ϕ, και οτιδήποτε είναι ϕ είναι το ένα ή το άλλο από αυτά". Σαφώς, αυτή η ακολουθία μπορεί επίσης να επεκταθεί για να δώσει έναν τύπο για "Ακριβώς τα πράγματα είναι ϕ" για κάθε φυσικό αριθμό n. Είναι βολικό να συντομεύσετε το wff για "Ακριβώς ένα πράγμα είναι ϕ" έως (∃! X) ϕx. Αυτός ο ειδικός μετρητής διαβάζεται συχνά δυνατά ως "E-Shriek x".

Ορισμένες περιγραφές

Όταν μια συγκεκριμένη ιδιότητα ανήκει σε ένα και μόνο ένα αντικείμενο, είναι βολικό να υπάρχει μια έκφραση που ονομάζει αυτό το αντικείμενο. Μια κοινή σημείωση για αυτόν τον σκοπό είναι (ιx) ϕx, η οποία μπορεί να διαβαστεί ως «το πράγμα που είναι ϕ» ή πιο σύντομα ως «το ϕ». Σε γενικές γραμμές, όπου το a είναι οποιαδήποτε μεμονωμένη μεταβλητή και το α είναι οποιοδήποτε wff, (ιa) α τότε σημαίνει τη μοναδική τιμή ενός που κάνει α αληθές. Μια έκφραση της μορφής «το έτσι και έτσι» ονομάζεται οριστική περιγραφή. και (ιx), γνωστό ως τελεστής περιγραφής, μπορεί να θεωρηθεί ότι σχηματίζει ένα όνομα ατόμου από μια φόρμα πρότασης. (ιx) είναι ανάλογο με έναν ποσοτικό προσδιοριστή στο ότι, όταν προτάσσεται με ένα wff α, δεσμεύει κάθε ελεύθερη εμφάνιση του x σε α. Επιτρέπεται επίσης η επαναφορά των δεσμευμένων μεταβλητών. στην απλούστερη περίπτωση, (ιx) ϕx και (ι) eachy κάθε ένας μπορεί να διαβαστεί απλά ως «το ϕ».

Όσον αφορά τους κανόνες σχηματισμού, συγκεκριμένες περιγραφές μπορούν να ενσωματωθούν στο LPC αφήνοντας τις εκφράσεις της φόρμας (ιa) να υπολογίζονται ως όροι. Ο κανόνας 1 ′ παραπάνω, στην ενότητα "Επεκτάσεις LPC", θα τους επιτρέψει να εμφανιστούν σε ατομικούς τύπους (συμπεριλαμβανομένων των τύπων ταυτότητας). «Το ϕ είναι (δηλ. Έχει την ιδιότητα) ψ» μπορεί στη συνέχεια να εκφραστεί ως ψ (ιx) ϕx. «Y είναι (το ίδιο άτομο με) το ϕ» με y = (ιx) ϕx; «Το ϕ είναι (το ίδιο άτομο με) το ψ» με το (ιx) ϕx = (ι) ψy; και ούτω καθεξής.

Η σωστή ανάλυση των προτάσεων που περιέχουν συγκεκριμένες περιγραφές έχει αποτελέσει αντικείμενο σημαντικής φιλοσοφικής αντιπαράθεσης. Ένας ευρέως αποδεκτός λογαριασμός, ωστόσο - ουσιαστικά αυτός που παρουσιάστηκε στην Principia Mathematica και γνωστός ως θεωρία περιγραφών του Russell - υποστηρίζει ότι το "Το ϕ είναι ψ" πρέπει να νοηθεί ότι σημαίνει ότι ακριβώς ένα πράγμα είναι ϕ και αυτό το πράγμα είναι επίσης ψ. Σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να εκφραστεί με ένα wff του LPC-με-ταυτότητα που δεν περιέχει τελεστές περιγραφής - συγκεκριμένα, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Αναλογικά, το «y είναι το ϕ» αναλύεται ως «το y είναι ϕ και τίποτα άλλο δεν είναι ϕ» και ως εκ τούτου ως εκφραζόμενο από το (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "Το ϕ είναι το ψ" αναλύεται ως "Ακριβώς ένα πράγμα είναι ϕ, ακριβώς ένα πράγμα είναι ψ, και ό, τι είναι ϕ είναι ψ" και ως εκ τούτου ως εκφραζόμενο με το (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx και (ιx) ϕx = (ιy) ψy μπορούν στη συνέχεια να θεωρηθούν συντομογραφίες για (1), (2) και (3), αντίστοιχα. και γενικεύοντας σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις, όλα τα wff που περιέχουν τελεστές περιγραφής μπορούν να θεωρηθούν ως συντομογραφίες για μεγαλύτερα wffs που δεν το κάνουν.

Η ανάλυση που οδηγεί στο (1) ως τύπος για το "The ϕ is ψ" οδηγεί στα ακόλουθα για "The ϕ is not ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το (4) δεν είναι η άρνηση του (1). αυτή η άρνηση είναι, αντίθετα, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Η διαφορά στην έννοια μεταξύ (4) και (5) έγκειται στο γεγονός ότι το (4) ισχύει μόνο όταν υπάρχει ακριβώς ένα πράγμα που είναι ϕ και ότι αυτό δεν είναι ψ, αλλά (5) ισχύει τόσο στην περίπτωση αυτή όσο και επίσης όταν τίποτα δεν είναι καθόλου και όταν περισσότερα από ένα πράγματα είναι ϕ. Η παραμέληση της διάκρισης μεταξύ (4) και (5) μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρή σύγχυση της σκέψης. Στην συνηθισμένη ομιλία είναι συχνά ασαφές εάν κάποιος που αρνείται ότι το ϕ είναι ψ παραδέχεται ότι ακριβώς ένα πράγμα είναι ϕ αλλά αρνείται ότι είναι ψ, ή αρνείται ότι ακριβώς ένα πράγμα είναι ϕ.

Η βασική άποψη της θεωρίας περιγραφών του Russell είναι ότι μια πρόταση που περιέχει μια ορισμένη περιγραφή δεν πρέπει να θεωρείται ως ισχυρισμός για ένα αντικείμενο του οποίου η περιγραφή είναι ένα όνομα αλλά μάλλον ως μια υπαρξιακά ποσοτικοποιημένη δήλωση ότι μια συγκεκριμένη (μάλλον περίπλοκη) ιδιοκτησία έχει μια στιγμή. Επισήμως, αυτό αντικατοπτρίζεται στους κανόνες για την εξάλειψη των τελεστών περιγραφής που περιγράφονται παραπάνω.